2.2.1直线的参数方程

2.2.1直线的参数方程(1)主备：冯宗明喻浩徐洪燕审核：牟必继有计划就去做，不要总找借口一、教学目标：知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.三、教学方法：启发、诱导发现教学.（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。()()xftygt（2）相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。1、参数方程的概念一、复习回顾注意：(1)、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。(2)、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。(3)同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样;(4)在实际问题中要确定参数的取值范围.2、求曲线的参数方程一般步骤:（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为(x,y)；（2）选取适当的参数t;（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式;（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程;请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:112121yyxxyyxx点斜式:00()yykxxykxb1xyab一般式:0AxByCk2121yyxxtan3、什么叫做向量？向量有哪些表示方法？4、向量的数量是怎样的？2、直线的参数方程有许多形式，但我们主要学习其中的两种基本的形式：问题的提出：⑴一条直线L的倾斜角是030，并且经过点P（2，3），如何描述直线L上任意点的位置呢？⑵如果已知直线L经过两个定点Q（1，1），P（4，3），那么又如何描述直线L上任意点的位置呢？二、新课讲解：1、引出问题:直线的参数方程是怎样的？今天我们来研究直线的参数方程，t（1）一条直线L的倾斜角是300，，并且经过点P（2，3），如何描述直线L上任意点的位置呢？3、教师引导学生推导直线的参数方程：OxylP00x=2+tcos30y=3+tsin30所求直线的参数方程为：(t为参数)M(x,y)是直线上的任意一点.其中参数t的几何意义是丛点P到M的位移,可以用有向线段PM=t的数量表示。M设直线上的任意一点M(x,y)QPM=t3、教师引导学生推导直线的参数方程：所求直线的参数方程为：⑵如果已知直线L经过两个定点Q(1，1),P(4，3),那么又如何描述直线L上任意点的位置呢？OxylPQ1+4λx=1+λ1+3y=1+λ其中参数的几何意义是点M分有向线段QP的数量比。t(为参数)M设直线上的任意一点M(x,y)BNAQMλ=，MP令0(1)(2)leeMM如何利用倾斜角写出直线的单位方向向量？如何用和的坐标表示直线上任意一点的坐标？)sin,(cos)1(e),(),(),()2(00000yyxxyxyxMMeMM//0又etMMRt0，使得存在惟一实数抽象概括一般的直线的参数方程：23t注:(1)直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？（）参数的取值范围是什么？（）该参数方程形式上有什么特点？00000.tttMMMMetMMetMMt直线的参数方程中参数的几何意义是：表示参数对应的点到定点的距离。当与同向时，取正数；当与异向时，取负数；当点与重合时，也即是从点P到M的位移，可以用有向线段PM的数量表示。抽象概括一般的直线的参数方程：⑵如果已知直线L经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)的直线的参数方程为：OxylPQ1212x+λxx=1+λy+λyy=1+λ①其中参数的几何意义是点M分有向线段QP的数量比：M设直线上的任意一点M(x,y)QMMPo当时，M为内分点；当时，点M与Q重合。o1o当且时，M为外分点；t(为参数，)1②t(1)一条直线L的倾斜角是,并且经过点P(x0,y0)的直线的参数方程为：OxylP00x=x+tcosy=y+tsin所求直线的参数方程为：(t为参数)M(x,y)是直线上的任意一点.其中参数t的几何意义是丛点P到M的位移,可以用有向线段PM的数量表示。4、抽象概括一般的直线的参数方程：M设直线上的任意一点M(x,y)⑵如果已知直线L经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)的直线的参数方程为：OxylPQ1212x+λxx=1+λy+λyy=1+λ①其中参数的几何意义是点M分有向线段QP的数量比：M设直线上的任意一点M(x,y)QMMPo当时，M为内分点；当时，点M与Q重合。o1o当且时，M为外分点；t(为参数，)1②即，QMMP”当点M在线段QP上时,取“+”;当点M在线段QP的延长线或反向延长线上时,取“-”号。例1、【课本P31页例1】已知直线l过点P(1,2),且倾斜角135；(1)写出直线l的参数方程(2)求直线与直线y=x的交点坐标例2、【课本P31页例2】已知两点A(3,4),B(-5,3)和直线l:3x+5y+4=0.求过点A,B的直线的参数方程,并求它与直线l的交点坐标.学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：1、求直线参数方程的方法；2、利用直线参数方程求交点。巩固导练：课本P32页练习2、3题。三、例题讲解。的一个参数方程是）直线（）为参数）的倾斜角是（（）直线（012160.110.70.20.20cos20sin31000000yxDCBAttytx练习：B为参数）（ttytx22221补充：1、直线)(sincos为参数tytx与圆)(sin2cos24为参数yx相切，那么直线的倾斜角为（）A．6或65B．4或43C．3或32D．6或652、(2009广东理)（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.xtltykt为参数与直线2,:12.xslys（s为参数）垂直，则k．解：直线112,:()2.xtltykt为参数化为普通方程是)1(22xky，该直线的斜率为2k，直线2,:12.xslys（s为参数）化为普通方程是12xy，该直线的斜率为2，则由两直线垂直的充要条件，得122k，1k。3、P32练习1,2,3如果在学习直线的参数方程之前,你会怎样求解本题呢？(*)010122xxxyyx得：解：由112121xxxx，由韦达定理得：10524)(1212212xxxxkAB251251(*)21xx，解得：由25325321yy，)253,251()253,251(BA，坐标记直线与抛物线的交点2222)2532()2511()2532()2511(MBMA则245353①①的参数方程？）如何写出直线（l1?221ttBA，所对应的参数，）如何求出交点（有什么关系？，与、）（213ttMBMAAB21211ttMM）（2221ttt）（2四、课堂练习0cos1.(sinttyytaA012x=x直线为参数）上有参数分别为t和t对应的两点和B,则A,B两点的距离为2t1A.t12.Btt12.Ctt12.Dtt练习22cos2(4sin,xattbacybtt2。在参数方程为参数）所表示的曲线上有B,C两点，它们对应的参数值分别为t、则线段BC的中点M对应的参数值是（）22t1tA.12.2ttB2|2t1|tC.12||.2ttD1123.(3520,xttyt一条直线的参数方程是为参数），另一条直线的方程是x-y-23则两直线的交点与点（1，-5）间的距离是43124:44022043120lxylxylxy。求直线与：及直线：所得两交点间的距离。91714四、课堂小结知识点：学习后要把握以下几个及其简单应用，直线的参数方程的推导本节课我们主要学习了的联系；通方程）直线的参数方程与普（)(tan100xxyy量知识的联系；）直线的参数方程与向（2的几何意义；）参数（t3.4tt长，与中点对应的参数线被曲线所截得的弦的两点间的距离、直表示点的坐标、直线上）应用：用参数（2.2.1直线的参数方程(2)(1)一条直线L的倾斜角是,并且经过点P(x0,y0)的直线的参数方程为：OxylP00x=x+tcosy=y+tsin±|PM|=t.即(t为参数)tM(x,y)是直线上的任意一点.其中参数t的几何意义是丛点P到M的位移,可以用有向线段PM的数量表示1、复习回顾：直线的参数方程：M(标准形式)当点M(x，y)在点(x0，y0)的上方时，t＞0；当点M(x，y)在点(x0，y0)的下方时，t＜0；当点M(x，y)与点(x0，y0)重合时，t=0.以上反之亦然．00x=xtcosy=ytsi-n-注意：(t是参数)，这虽然不是标准形式，但仍表示过P(x0,y0)且倾斜角为的直线，参数t与标准方程的t是互为相反数。基础训练1直线0020cos120sin2tytx(t为参数),经过定点，倾斜角为2直线tytx231213(t为参数)方程中，t的几何意义是（）（A）一条有向线段的长度（B）定点P0（3，1）到直线上动点P(x，y)的有向线段的数量（C）动点P(x，y)到定点P0（3，1）的线段的长（D）直线上动点P(x，y)到定点P0（3，1）的有向线段的数量(2,-1)110°B基础训练3已知直线tytx3443(t为参数),下列命题中错误．．的是（）(A)直线过点（7，1）(B)直线的斜率为3/4(C)直线不过第二象限(D)|t|是定点M0（3，4）到该直线上对应点M的距离D(2)直线的参数方程的一般形式：(t为参数)．其中(x0，y0)表示该直线上的一点,表示直线的斜率．当a，b分别表示点M(x，y)在x轴正方向与y轴正方向的分速度时,t就具有物理意义——时间,相应的at，bt则表示点M(x，y)在x轴正方向、y轴正方向上相对(x0，y0)的位移．00xxatyybtba解：由题意知则直线PQ的方程是(时间t是参数)将t=3s代入得Q（−8，14）。1324xtyt例．一个小虫从P（1，2）出发,已知它在x轴方向的分速度是−3,在y轴方向的分速度是4,问小虫3s后的位置Q。说明：(1)标准形式是一般形式的特殊情况。一般式中当a2+b2=1且b0就是标准形式。(2)当a2+b2≠1，可以把一般形式转化为标准形式。过程如下：22=,abtt令2202222022()()axxabtabbyyabtab0220(1)xxatabyybt一般形式：022022axxtabbyytab022022axxtabbyytab一般仍写成转化之后仍表示同一条曲线。⑵如果已知直线L经过两个定点Q(x1,y1),