选修4-4-2.3.1直线的参数方程

2.3.1直线的参数方程选修4-4请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:112121yyxxyyxx点斜式:00()yykxxykxb1xyab一般式:0()AxByCAB，不同时为零2121yyxxtan温故知新000()Mxy已知一条直线过点，，倾斜角，求这条直线的方程.00tan()yyxx解：直线的普通方程为00sin()cosyyxx把它变成00sincosyyxx进一步整理，得：00.sincosyyxxtt令该比例式的比值为，即00cos()sinxxttyyt整理，得到是参数问题情景M0(x0，y0)M(x,y)e(cossin)，00000()()()MMxyxyxxyy，，解：在直线上任取一点M(x，y)，则(cossin)ele设是直线的单位方向向量，则，00//MMetRMMte因为，所以存在实数，使，即00()(cossin)xxyyt，，00cossinxxtyyt所以，00cossinxxtyyt即，00cossinxxttyyt所以，该直线的参数方程(为为参数)xOy0MMtelt由，你能得到直线的参数方程中参数的几何意义吗？探究思考|t|=|M0M|M0Me00||||MMteMMte解：，，||1ee又因为是单位向量，，0||||||||.MMtet所以，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.这就是t的几何意义，要牢记xOy21.:10(12)lxyyxABABMAB例已知直线与抛物线交于，两点，求线段的长度和点，到，两点的距离之积.分析:3.点M是否在直线上1.用普通方程去解还是用参数方程去解；2.分别如何解.ABM(-1，2)xyO解：因为把点M的坐标代入直线方程后，符合直线方程，所以点M在直线上.31cos4()32sin4xttyt为参数34易知直线的倾斜角为，所以直线的参数方程可以写成：21.:10(12)lxyyxABABMAB例已知直线与抛物线交于，两点，求线段的长度和点，到，两点的距离之积.M(-1，2)ABxOy212()222xttyt即为参数22220.yxtt把它代入抛物线方程，得1221021022tt解得，，t由参数的几何意义得12||||10ABtt，1212||||||||||2.MAMBttttM(-1，2)ABxOy探究思考12121212()0.(1)(2)fxyMMttMMMMMt直线与曲线，交于，两点，对应的参数分别为，曲线的弦的长是多少？线段的中点对应的参数的值是多少？121212(1)||||(2).2MMttttt；001212121212cos1.(sin().||.||.||||.||||||xxttyytattABABAttBttCttDtt直线为参数）上有参数分别为和对应的两点和，则，两点的距离为B1212121212cos2()sin()||||....2222xattybtBCttBCMttttttttABCD.在参数方程为参数所表示的曲线上有，两点，它们对应的参数值分别为、，则线段的中点对应的参数值是B1123.()352230(15)___________________.xttytxy一条直线的参数方程是为参数，另一条直线的方程是，则两直线的交点与点，间的距离是4312444022043120lxylxylxy.求直线：与：及直线：所得两交点间的距离.917145.动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别是3cm/s和4cm/s，直角坐标系的长度单位是1cm，点M的起始位置在点M0(2，1)处，求点M的轨迹的参数方程.32()41xttyt为参数325()415xttyt为参数sin2036()()cos20.20.70.110.160xttytABCD.直线为参数的倾斜角是el我们知道，是直线的单位方向向量，那么它的方向应该是向上还是向下的？还是有时向上有时向下呢？0tMM我们是否可以根据的值来确定向量思考的方向呢？0sin0sin0eeee由于是直线的倾斜角，因此，当时，，又因为表示的纵坐标，所以的纵坐标都大于，那么的终点就会都在第一，二象限，所以的方向就总会向上.000000.tMMtMMtMM此时，若，则的方向向上；若，则的方向向下；若，则点与重合辨析:例:动点M作等速直线运动，它在x轴和y轴方向分速度分别为9，12，运动开始时，点M位于A(1，1)，求点M的轨迹的参数方程.19()112xttyt为参数请思考:此时的t有没有明确的几何意义?没有重要结论:直线的参数方程可以写成这样的形式:220221||||cossin.1abttMMababt当时，有明确的几何意义，它表示，此时我们可以认为，为倾斜角.当时，没有明确的几何意义.那么，如何转化，可以使参数具有几何意义呢？00()xxattyybt为参数cos42cos7.()sin2sin()()53..664425..3366xtxtytyABCD直线为参数与圆为参数相切，则直线倾斜角为或或或或2248.()410xattxyxybt若直线为参数与曲线相切，则这条直线的倾斜角等于_______.233或222(21)1164yxMlABMABl例经过点，作直线，交椭圆于，两点.如果点恰好为线段的中点，求直线的方程.22121222cos(21)1sin()(3sin1)4(cos2sin)80||||||||4(cos2sin).3sin1xtMlytttttMAtMBtMtt解：设过点，的直线的参数方程为为参数代入椭圆方程得由的几何意义知，，因为点在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以1202cos2sin01tan211(2)240.2ttMABlklyxxy因为点为线段的中点，所以，即，于是直线的斜率为，因此直线的方程为，即例3当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并以40km/h的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?PMOyx(3000)250OOPxPOkmOMOOO解：取为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图，则点的坐标为，，以为圆心，为半径作圆，当台风中心移动后的位置在圆内或以圆上时，城市将受到台风侵袭.222250()30040cos135(0)40sin135300202(0).202OxytMxyMxtlttytxtttyt圆的方程为，设经过时间后，台风中心的坐标为，，根据条件知台风中心移动形成的直线的方程为为参数，，即为参数，222(300202202)(300202)(202)2501525715257442.08.62MttOOttttth当点，在圆内或在圆上时有，解得由计算器计算得，的范围约为，所以，大约在后该城市开始受到台风侵袭.思考：在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250km，并以10km/h的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？小结:1.直线参数方程2.利用直线参数方程中参数t的几何意义，简化求直线上两点间的距离.3.注意向量工具的使用.00cos()sinxxttyyt是参数探究:直线的参数方程形式是不是唯一的|t|=|M0M|00()xxattyybt为参数221abt当时，才具有此几何意义其它情况不能用.