第八章--轴向拉压杆的强度计算

第8章轴向拉压杆的强度计算1轴向拉伸与压缩的概念在工程中以拉伸或压缩为主要变形的杆件，称为：拉杆和压杆若杆件所承受的外力或外力合力作用线与杆轴线重合的变形，称为轴向拉伸或轴向压缩。预备知识FFFFFFFFFFFBCABCBA这些杆件虽然形状、加力方式等各有不同，但是他们具有共同的受力和变形特点：外力（或外力的合力）的作用线与杆件的轴线重合，杆的两相邻横截面沿杆轴线方向产生相对移动，而杆件的长度伸长或缩短，同时横向尺寸相应的缩短或伸长。2轴向拉(压)杆的内力与轴力图拉压杆的内力：切、留、代、平0xFFFN唯一内力分量为轴力，其作用线垂直于横截面沿杆轴线并通过形心。通常规定：轴力使杆件受拉为正，受压为负。m}FN}(a)(b)(c)FNmFFFFmmmm轴力图用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，以此表示轴力与横截面位置关系的几何图形，称为轴力图。作轴力图时应注意以下几点：1、轴力图的位置应和杆件的位置相对应。轴力的大小，按比例画在坐标上，并在图上标出代表点数值。2、习惯上将正值（拉力）的轴力图画在坐标的正向；负值（压力）的轴力图画在坐标的负向。例1：35kN55kN20kNⅡⅠ35kNNF图20kN内力是由“外力”引起的，仅表示某截面上分布内力向截面形心简化的结果。而构件的变形和强度不仅取决于内力，还取决于构件截面的形状和大小以及内力在截面上的分布情况。为此，需引入应力的概念应力：指截面上一点处单位面积内的分布内力；或是指内力在一点处的集度。§8–1、应力与应变的基本概念1、应力的概念平均应力：mFpAM点处的内力集度（总应力）：0limAFpA一点处的总应力p是矢量，其方向为此处内力的极限方向。应力与截面既不垂直也不相切，力学中总是将它分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量，如图：正应力（或法向应力）：指与截面垂直的应力分量，用σ表示；剪应力（或切向应力）：指与截面相切的应力分量，用τ表示。应力的正、负号规定：正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以使所作用的微段有顺时针方向转动趋势者为正，反之为负。应力的单位：帕斯卡，简称为帕，符号为“Pa”Pa，kPa（千帕），MPa（兆帕），GPa（吉帕）369GPa=10MPa10kPa10Pa1MPa=106N/m2=106N/106mm2=1N/mm2五FC’D’E’位移线位移角位移变形线变形角变形应变线（正）应变角（切）应变AA’ECDDCECDDCCDCDDCmCDCDCDDClimECDm2ECD2limCDCECDEAA2、应变的概念正负号线（正）应变：微段伸长为正；反之为负角（切）应变：直角变小为正；反之为负试验现象（矩形截面试件）：周线：平移，形状不变，保持平行；纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。Fbb'dd'a'ac'c}FNσFF应力是内力的集度，内力或应力均产生在杆件内部，是看不到的。应力与变形有关，所以研究应力还得从观察变形出发。§8–2、轴向拉压杆的应力计算1、横截面上的应力拉（压）杆横截面上的内力是轴力，其方向垂直于横截面，因此，与轴力相应的只可能是垂直于截面的正应力，即拉（压）杆横截面上只有正应力，没有切应力。Fbb'dd'a'ac'c}FNσFF平面假设：受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两平面相对位移了一段距离。假想杆件是由若干与轴线平行的纵向纤维组成的，任意两个横截面之间所有纵向纤维的伸长均相同；又因为材料是均匀的，各纤维的性质相同，因此其受力也一样，即轴力在横截面上是均匀分布的。Fbb'dd'a'ac'c}FNσFF轴向拉压等截面直杆，横截面上正应力均匀分布AFNAFN式中FN为轴力，A为横截面的面积。σ的正负符号约定：拉应力为正，压应力为负---轴向拉（压）杆件横截面上各点正应力σ的计算公式。注意：1、杆端集中力作用点附近区域内的应力分布比较复杂，并非均匀分布，σ=FN/A只能计算该区域内横截面上的平均应力，而不是应力的真实情况。2、实际上，外荷载作用方式有各种可能，引起的变形规律比较复杂，从而应力分布规律及其计算公式亦较复杂，其研究已经超出材料力学范围。3、研究表明，弹性杆件横截面上的应力分布规律在距外荷载作用区域一定距离后，不因外荷载作用方式而改变。这一结论称为圣维南原理。4、今后假定，在未要求精确计算杆上外力作用点附近截面内的应力时，轴向拉（压）杆在全长范围内，σ=FN/A均适用。100kN100kN150kN150kN100kN+-ⅠⅡⅢ150kN例:图示阶梯杆，第Ⅰ、Ⅱ段为铜质的，横截面积A1=20cm2，第Ⅲ段为钢质的，横截面积A2=10cm2，试求杆中的最大正应力。解：作出轴力图如图压应力拉应力FBCA(a)30N2100kNABFFN386.6kNBCFF3NAB22210010N141.5MPa130mm44ABFd3N22286.610N8.66MPa100mmBCBCFaBC中的负号表示BC杆的应力为压应力，即BC杆为压杆。例图示三角托架中，AB杆为圆截面钢杆，直径d=30mm；BC杆为正方形截面木杆，截面边长a＝100mm。已知F＝50kN，试求各杆的应力。解取结点B为分离体，其受力如图所示，由平衡条件可得可得(b)30NABFNBCFF例一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为,40021mmA2322200,300mmAmmA试求各横截面上的应力。解：1、计算轴力画轴力图利用截面法可求得阶梯杆各段的轴力为：F1=50kN，F2=-30kN，F3=10kN，F4=-20kN。轴力图。F（2）、计算各段的正应力AB段：MPaMPaAFAB1254001050311BC段：MPaMPaAFBC1003001030322CD段：MPaMPaAFCD3.333001010323DE段：MPaMPaAFDE1002001020334F,40021mmA2322200,300mmAmmAq=ρgAlFN(b)ρgAx(x)xxBA(a)N()FxgAxxNNFFx称为轴力方程。该轴力方程表明FN是关于截面位置x的一次函数，轴力图如图所示。例：图示杆AB，上端固定、下端自由，长为l，横截面面积为A，材料密度为ρ，试分析该杆由自重引起的轴力及横截面上的应力沿杆长的分布规律。解：由截面法，在距下端为x截面上的轴力为表明该杆的轴力是截面位置x的连续函数，0x(0)0AFFNNxlmax()BFlFFgAlNNNN()()FxxgxA(0)0Amax()BlglOFN(x)xρgAlOρglxσ(c)(d)时，时，NNFFx沿杆长的分布规律如图（c）所示；并可得横截面上的正应力沿杆长呈线性分布。0xxl时，时，}FFmααFNFααppαααστ(a)(b)(c)在下一节拉伸与压缩试验中会看到，铸铁试件压缩时，其断面并非横截面，而是斜截面。这说明仅计算拉压杆横截面上的应力是不够的，为了全面分析解决杆件的强度问题，还需研究斜截面上的应力。2、斜截面上的应力NFF图示一等直杆，其横截面面积为A，下面研究与横截面成角α的斜截面m-m上的应力。此处α角以从横截面外法线到斜截面外法线逆时针向转动为正。沿m-m截面处假想地将杆截成两段，研究左边部分，如图（b）所示，可得m-m截面上的内力为：}FFmααFNFααppαααστ(a)(b)(c)NFpA和横截面上正应力分布规律的研究方法相似，同样可以得出斜截面上的总应力也是均匀分布的，故coscosFpA/FA为杆件横截面上的正应力。}FFmααFNFααppαααστ(a)(b)(c)A/cosAA式中NFpA为斜截面m-m的面积。因为所以将总应力pα分解为两个分量：m-m截面法线方向的正应力σα和切线方向的切应力τα2coscos(1cos2)2sinsincossin22pp(1cos2)2sin22σα和τσ都是α角的函数，随α变化而变化，其极值及其所在截面的方位为：max4524521.当α=0°时，即横截面上，σα达到极值σ；当α=90°时，即纵截面上，σα达到极值0，在正应力的极值面上切应力为零。452.绝对值最大的切应力发生在°的斜截面上，45且°斜截面上的正应力在实际工程中，由于构造上的要求，有些构件需要开孔或挖槽（如油孔、沟槽、轴肩或螺纹的部位），其横截面上的正应力不再是均匀分布的。Fσσmax(a)(b)板条受拉时，圆孔直径所在横截面上的应力分布由试验或弹性力学结果可绘出，如图（b）所示，其特点是：在小孔附近的局部区域内，应力急剧增大，但在稍远处，应力迅速降低而趋于均匀。3、应力集中的概念Fσσmax(a)(b)这种由于杆件形状或截面尺寸突然改变而引起局部区域的应力急剧增大的现象称为应力集中。0N0/FAmaxt0K称为应力集中因数，它反映了应力集中的程度，是一个大于1的因数。设产生应力集中现象的截面上最大应力为σmax，同一截面视作均匀分布按净面积A0计算的名义应力为σ0，即则比值工程构件受力后，其几何形状和几何尺寸都要发生改变，这种改变称为变形。当荷载不超过一定的范围时，构件在卸去荷载后可以恢复原状。但当荷载过大时，则在荷载卸去后只能部分地复原，而残留一部分不能消失的变形。§8–3、轴向拉压杆的变形——胡克定律1、轴向变形弹性变形：是指在卸去荷载后能完全消失的那一部分变形塑性变形：是指不能消失而残留下来的那一部分变形'lll'ddd以图示等直圆杆为例，设杆件变形前原长为l，横向尺寸为d，变形后长度为l’，横向尺寸为d’，d'dFlFl'l'lFFdd'轴向变形横向变形△l、△d表示杆件轴向、横向的绝对变形量，量纲均为[长度]。ll''ddd绝对变形量不能全面反映杆件的变形程度，引入线应变的概念。线应变是指单位长度的长度改变量，用ε表示，量纲为一。-----轴向线应变，简称线应变。-----横向线应变拉伸时，△l0，△d0，ε0，ε’0；压缩时，△l0，△d0，ε0，ε’0；，d'dFlFl'l'lFFdd'ε与ε’是反号的。'试验表明：当拉（压）杆内的应力不超过材料的比例极限时，横向线应变与轴向线应变的比值为一常数，即ν称为泊松比，量纲为一，其值随材料而异，可通过试验测定。-----计算出的是轴向纤维在全长l内的平均线应变，当沿杆长度均匀变形（所有截面的正应力都相等）时，它也代表l长度范围内任一点处轴向方向的线应变。当沿杆长度非均匀变形时（如一等直杆在自重作用下的变形）并不反映沿长度各点处的轴向线应变。ll说明：NFllANFllEA拉（压）杆的变形与材料的性能有关，只能通过试验来获得。试验表明，在弹性变形范围内，杆件的变形△l与轴力FN及杆长l成正比，与横截面面积A成反比，即引入比例系数E，把上式写成式中E为弹性模量，表示材料抵抗弹性变形的能力，是一个只与材料有关的物理量，其值可以通过试验测得，量纲与应力量纲相同。弹性模量E和泊松比ν都是材料的弹性常数。EA称为轴向拉（压）杆的抗拉（压）刚度，表示杆件抵抗拉伸（压缩）的能力。对于长度相等且受力相同的杆件，其抗拉（压）刚度越大则杆件的变形越小。NFllEA------轴向拉（压）杆件的变形与EA成反比。NFllEAN1FllEAEE或称为胡克定律，表明，在弹性变形范围内，应力与应变成正比。几种常用材料的E和ν的约值材料名称E/（GPa）ν低碳钢196~2160.24~0.28合金钢186~2060.25~0.30灰铸