第6讲-一次函数的图象与性质

数学教研组编写八年级寒假人教版课件第六讲一次函数的图象与性质解读一正比例函数的概念一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k是比例系数．注意正比例函数必须符合以下三个条件：（1）自变量的次数是1；（2）比例系数不等于0；（3）解析式中不含常数项．【例1】下列函数中，()是正比例函数A．y＝－3xB．y＝－3xC．y＝12x＋1D．y＝2x2【答案】A．【例2】若y关于x的函数y＝(m－2)x＋n是正比例函数，则m，n应满足的条件是()A．m≠2且n＝0B．m＝2且n＝0C．m≠2D．n＝0【答案】A．【变1】下列式子中，表示y是x的正比例函数的是()A．y＝2xB．y＝x＋2C．y＝2xD．y＝x2【答案】A．【变2】若y＝(m－2)x＋(m2－4)是正比例函数，则m的取值是()A．2B．－2C．±2D．任意实数【答案】B．解读二正比例函数的图象及画法一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx．注意（1）因为两点确定一条直线，且正比例函数的图象都经过原点，所以画图时取(0，0)和(1，k)两点．（2）为了描点更方便、更准确，取横、纵坐标时，都尽量是整数．拓展在正比例函数y＝kx(k≠0)中，|k|越大，直线y＝kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；|k|越小，直线y＝kx越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小．【例3】在同一坐标平面内画出下列各组函数的图象(不写画法)：（1）y＝x和y＝2x；（2）y＝12x和y＝13x；（3）y＝－2x和y＝－3x；（4）y＝－12x和y＝－13x．【答案】解：（1）（2）yxy=12xy=13xOy=2xy=xxOy（3）（4）yxOy=-12xy=-13xxOyy=-3xy=-2x【变3】在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）y＝－23x；（2）y＝3x；（3）y＝23x．【答案】解：如图所示：xyO-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-112345y=3xy=23xy=-23x解读三正比例函数的性质正比例函数y＝kx(k为常数，k≠0)的图象的位置(所经象限)和函数值y的增减性由比例系数k的符号决定．其性质如下：y＝kx(k≠0)k＞0k＜0图象图象形状过原点，从左向右上升的直线过原点，从左向右下降的直线经过的象限第一、三象限第二、四象限增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小xyOyxO【例4】已知正比例函数图象上一个点A到x轴的距离为4，这个点A的横坐标为－2，请回答下列问题：（1）求这个正比例函数；（2）这个正比例函数经过哪几个象限？（3）这个正比例函数的函数值y是随着x增大而增大？还是随着x增大而减小？【答案】解：（1）∵正比例函数图象上一个点A到x轴的距离为4，这个点A的横坐标为－2，∴A(－2，4)，(－2，－4)，设解析式为：y＝kx，则4＝－2k，－4＝－2k，解得k＝－2，k＝2，故正比例函数解析式为；y＝±2x；（2）当y＝2x时，图象经过第一、三象限；当y＝－2x时，图象经过第二、四象限；（3）当y＝2x时，函数值y是随着x增大而增大；当y＝－2x时，函数值y是随着x增大而减小．【变4】已知函数y＝(k－3)x，y随x的增大而减小，则常数k的取值范围是()A．k＞3B．k＜3C．k＜－3D．k＜0【答案】B．【变5】已知正比例函数y＝(m－1)x的函数图象有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜x2时，有y1＞y2．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数时，画出该函数图象．【答案】解：（1）由题意知m－1＜0，即m＜1，m的取值范围是m＜1；（2）∵m＜1，∴m取最大整数0，所以解析式为y＝－x，图象如图所示：xyy=-x1-10解读四一次函数的概念1．一次函数的概念形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数．注意一次函数的要求：（1）k≠0；（2）自变量x的次数为1；（3）常数项b可以为任意实数．2．一次函数与正比例函数的关系对于一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，当b＝0时，该函数是正比例函数，即正比例函数是一种特殊的一次函数．【例5】下列函数中，一次函数为()A．y＝x3B．y＝－2x＋1C．y＝2xD．y＝2x2＋1【答案】B．【例6】如果y＝(m－1)22mx＋3是一次函数，那么m的值是()A．1B．－1C．±1D．±2【答案】B．【变6】要使函数y＝(m－2)xn－1＋n是一次函数，应满足()A．m≠2，n≠2B．m＝2，n＝2C．m≠2，n＝2D．m＝2，n＝0【答案】C．解读五一次函数的图象与性质y＝kx＋b(k≠0)k＞0k＜0图象b＞0b＝0b＜0b＞0b＝0b＜0经过象限第一、二、三象限第一、三象限第一、三、四象限第一、二、四象限第二、四象限第二、三、四象限性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小yxOyxOxyOyxOyxOyxO【例7】已知点A(x1，y1)和B(x2，y2)在直线y＝－3x＋2上，若x1＞x2，则y1与y2的大小关系是()A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定【答案】B．【例8】将直线y＝2x向右平移2个单位，再向上移动4个单位，所得的直线的解析式是()A．y＝2xB．y＝2x＋2C．y＝2x－4D．y＝2x＋4【答案】A．【例9】已知一次函数y＝(m－2)x＋3－m的图象不经过第三象限，且m为正整数．（1）求m的值．（2）在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象．（3）当－4＜y＜0时，根据函数图象，求x的取值范围．Oxy-5-4-3-2-1123456-5-4-3-2-1123456【答案】解：（1）∵一次函数y＝(m－2)x＋3－m的图象不经过第三象限，∴2030mm＜，得m＜2，∵m为正整数，∴m＝1，即m的值是1；（2）由（1）知，m＝1，∴y＝(1－2)x＋3－1＝－x＋2，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝2，该一次函数的图象如下图所示；（3）当y＝－4时，－4＝－x＋2，得x＝6，当y＝0时，0＝－x＋2，得x＝2，由图象可得，当－4＜y＜0时，x的取值范围是2＜x＜6．Oxy-5-4-3-2-1123456-5-4-3-2-1123456【变7】已知点(－1，y1)，(－0.5，y2)，(1.5，y3)是直线y＝－2x＋1上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y3＞y2＞y1B．y1＞y2＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y1＞y2【答案】B．【变8】直线y＝2x＋6可以由y＝2x经过向()平移()单位得到A．上2B．下6C．左3D．右3【答案】C．【变9】已知一次函数y＝(m＋2)x＋(3－n)，求：（1）m，n是什么数时，y随x的增大而减小？（2）m，n为何值时，函数的图象经过原点？（3）若函数图象经过二、三、四象限，求m，n的取值范围．【答案】解：（1）由题意得：m＋2＜0，∴m＜－2∴当m＜－2且n为任意实数时，y随x的增大而减小．（2）由题意得：m＋2≠0且3－n＝0，∴m≠－2且n＝3∴当m≠－2且n＝3时函数的图象过原点．（3）由题意可得：2030mn＜＜，解之得：23mn＜＞，∴当m＜－2且n＞3时，函数的图象过二、三、四象限．解读六用待定系数法求一次函数的解析式1．关键：根据条件确定函数y＝kx＋b中的系数k和b的值．2．步骤：（1）设：设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)；（2）代：将已知的x，y的对应值(至少两组)代入所设解析式中，得到关于系数k，b的方程组；（3）解：解方程组求得系数k，b的值；（4）写：将k，b的值代入所设解析式中，写出解析式．注意式子、图象可转化，确定k，b解方程（1）函数解析式与函数图象可以相互转化，实现这种转化的工具就是点的坐标．（2）若已知图象上某点的坐标，就可以把该点的横、纵坐标作为解析式中的一组x，y的值，代入函数解析式，从而得到一个关于待定系数的方程．【例10】如图是一次函数y＝kx＋b的图象，则一次函数的解析式是()A．y＝－4x＋3B．y＝4x＋3C．y＝34x＋3D．y＝－34x＋3xyO-43【答案】C．【变10】已知变量y与x的关系满足下表，那么能反映y与x之间的函数关系的解析式是()x…－2－1012…y…43210…A．y＝－2xB．y＝x＋4C．y＝－x＋2D．y＝2x－2【答案】C．【变11】已知2y＋1与3x－3成正比例，且x＝10时，y＝4．求y与x之间的函数关系式．【答案】解：设2y＋1＝k(3x－3)，∵x＝10时，y＝4，∴2×4＋1＝k(3×10－3)，∴k＝13，∴2y＋1＝x－1，即y＝12x－1，故y与x之间的函数关系式为y＝12x－1．探究分段函数中的一次函数应用【例】甲、乙两人相约元旦登山，甲、乙两人距地面的高度y(m)与登山时间x(min)之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）t＝____________min．（2）若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，①则甲登山的上升速度是____________m/min；②请求出甲登山过程中，距地面的高度y(m)与登山时间x(min)之间的函数关系式．③当甲、乙两人距地面高度差为70m时，求x的值(直接写出满足条件的x值)．x(分)y(米)BDCO300乙甲EA11t11530100【答案】解：（1）在OA段，乙每分钟走的路程为15÷1＝15米/分，则t＝30÷15＝2，故答案为：2；（2）①以提速后的速度为：(300－30)÷(11－2)＝30米/分，∴甲的速度为：30÷3＝10m/min，故答案为：10；②甲登山用的时间为：(300－100)÷10＝20(分钟)，设甲登山过程中，距地面的高度y(m)与登山时间x(min)之间的函数关系式y＝kx＋b，10020300bkb，得10100kb，即甲登山过程中，距地面的高度y(m)与登山时间x(min)之间的函数关系式是y＝10x＋100；③设乙在AB段对应的函数解析式为y＝mx＋n，23011300mnmn，得3030mn，∴y＝30x－30，∴|30x－30－(10x＋100)|＝70(2＜x≤11)，解得，x＝3或x＝10，当11＜x≤20时，300－(10x＋100)＝70，得x＝13，由上可得，当x的值是3，10，13．【变】甲，乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示，则下列说法：①a＝4.5；②甲的速度是60km/h；③乙出发80min追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地180km．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个x/hOC4a7DE460y/kmF【答案】D．