第8讲-解一元二次方程

数学教研组编写八年级寒假人教版课件第八讲解一元二次方程解读一一元二次方程的概念1．一元二次方程：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．注意（1）一个方程是一元二次方程须同时满足三个条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（2）对一元二次方程概念的理解①“整式方程”应理解为未化简(去分母、去括号、移项和合并同类项)时，方程两边均是整式．②“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2”是对方程整理合并后而言的．【例1】下列方程中，哪些是一元二次方程？①x2＋2x－1x＝0；②x2＝4；③－2x2－3x＝0；④y2－3y＋1＝0⑤(y－1)2＝y2＋2；⑥x2－2y＋1＝0．【答案】②③④是一元二次方程【变1】下列方程是一元二次方程的是()A．25xyB．2x2＝5x－2C．1xx＝2D．x(x＋1)＝(x＋1)(x－1)【答案】B．【变2】一元二次方程4＋2x2－5x＝0的二次项系数、一次项系数及常数项分别是()A．4，2，5B．4，2，－5C．2．－5，4D．2，4，－5【答案】C．解读二一元二次方程的解(根)1．一元二次方程的解(根)：使方程左右两边相等的未知数的值．2．关于一元二次方程根的三个重要结论（1）a＋b＋c＝0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为x＝1．（2）a－b＋c＝0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为x＝－1．（3）c＝0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为x＝0．注意只含一个未知数的方程的解，也叫方程的根；含有两个或两个以上未知数的方程的解，不能叫方程的根．【例2】已知关于x的一元二次方程x2－2ax＋4＝0的一个根是2，则a的值为()A．1B．－1C．2D．－2【答案】C．【变3】关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(m＋3)x＋m2－4＝0有一个根是0，则m＝_______．【答案】－2．解读三直接开平方法解一元二次方程1．直接开平方法的依据及实质依据实质直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，其依据是平方根的意义解一元二次方程的基本思想是“降次”，通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次程．直接开平方法的实质就是把一个一元二次方程通过“降次”，转化为两个一元一次方程2．方程x2＝p的根的情况p的取值方程x2＝p的根的情况p＞0有两个不相等的实数根x1＝－p，x2＝pp＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝0p＜0没有实数根注意（1）对于形如(x＋n)2＝p(p≥0)，(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0)的关于x的一元二次方程，可用直接开平方法求解．（2）用直接开平方法解一元二次方程时，要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，开方的结果要注意取正、负两种情况．（3）对形如(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0)的关于x的一元二次方程，运用整体思想，把mx＋n看作一个整体，直接开平方降次，得mx＋n＝±p，即x＝npm．【例3】用直接开平方法解下列方程：（1）x2－4＝0；（2）3x2－27＝0；（3）(x－1)2＝9；（4）(2x－3)2＝16．【答案】（1）x1＝2，x2＝－2；（2）x1＝3，x2＝－3；（3）x1＝4，x2＝－2；（4）x1＝72，x2＝－12．【变4】解方程：（1）(6x－1)2－25＝0；（2）14(3x＋1)2＝64；（3）4x2－121＝0；（4）(x－5)3＋8＝0．【答案】（1）x1＝1，x2＝－23；（2）x1＝－173，x2＝5；（3）x1＝112，x2＝－112；（4）x＝3．解读四配方法解一元二次方程配方的目的和依据目的依据降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2注意（1）不管用何种方法配方，方程左边一定要符合完全平方式的形式．（2）当二次项系数不为1时，一般先根据等式的性质，将二次项系数化为1，再配方求解．（3）配方时易出现的错误①移项忘记变号；②系数化为1时漏项；③方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方．【例4】将x2＋6x＋4＝0进行配方变形，下列正确的是()A．(x＋3)2＝5B．(x＋3)2＝9C．(x＋6)2＝32D．(x＋6)2＝9【答案】A．【例5】配方法解方程：（1）x2－6x＝2；（2）x2＋2x＝2．【答案】（1）x1＝3＋11，x2＝3－11；（2）x1＝－1－3，x2＝－1＋3；【变5】用配方法解方程：（1）2x2－8x＋1＝0；（2）(x＋1)(x－5)＝1．【答案】解：（1）x＝2±142；（2）x1＝2＋10，x2＝2－10；解读五一元二次方程的求根公式及公式法1．根的判别式及其表示（1）根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式是b2－4ac．（2）表示：通常用希腊字母“”表示，即＝b2－4ac．（3）作用：的符号方程实数根的情况＞0有两个不相等的实数根＝0有两个相等的实数根＜0无实数根2．一元二次方程的求根公式对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)进行配方，可得到一元二次方程的求根公式：x＝242bbaca(b2－4ac≥0)．3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导过程(配方法)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)ax2＋bx＝－cx2＋bax＝－cax2＋bax＋(2ba)2＝－ca＋(2ba)2，即(x＋2ba)2＝2244bacax＋2ba＝±242baca(b2－4ac≥0)，即x＝242bbaca(b2－4ac≥0)注意（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的应用条件是a≠0，且b2－4ac≥0．（2）用求根公式可求出任何有解的一元二次方程的根．（3）用公式法解一元二次方程的两点注意①一定要先把方程化为一般形式，再确定a，b，c的值．注意不要出现符号错误．②先计算b2－4ac的值，再确定是否代入求根公式求解．【例6】用公式法解方程：（1）212x－3x－1＝0；（2）2x(x－3)＝(x－1)(x＋1)．【答案】（1）x1＝3＋11，x2＝3－11．（2）x1＝3＋22，x2＝3－22．【变6】用公式法解方程：（1）3x2－5x＋1＝0；（2）3x2－2x－2＝0．【答案】（1）x1＝5136，x2＝5136．（2）x1＝173，x2＝173；解读六因式分解法解一元二次方程1．因式分解法描述利用因式分解来解一元二次方程的方法理论依据若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，即若ab＝0，则a＝0或b＝0实质将一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程2．适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式．注意（1）因式分解法只能解某些特殊的一元二次方程，不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解．（2）用因式分解法解方程时，不要将方程两边同时除以含有未知数的式子，这样容易造成失根．【例7】方程(x＋2)(x－3)＝x－3的解是_________．【答案】3或－1【变7】已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2－3x＝4(x－3)的两个实数根，则该等腰三角形的周长是__________．【答案】10或11．【变8】解下列方程：（1）x2＋6x＋5＝0；（2）2(x－1)2＝3x－3；【答案】解：（1）x1＝－1，x2＝－5；（2）x1＝1，x2＝2.5．探究一根据实际问题列一元二次方程【例1】某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出50件，每件盈利40元．为了加快投资资金回笼，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出8件．如果要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？(只需列出方程，并化为一般形式，不必求解)【答案】设每件童装应降价x元．根据题意，得(50＋2x×8)(40－x)＝1000．整理，得2x2－55x－500＝0．【变1】在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是()A．2x2＋125x－900＝0B．x2＋65x－350＝0C．2x2＋125x＋900＝0D．x2－65x－350＝0【答案】B．探究二配方法的应用【例2】用配方法求2y2－7y＋2的最小值．【答案】2y2－7y＋2＝2(y2－72y)＋2＝2[y2－72y＋(－74)2－(－74)2]＋2＝2(y－74)2－338．因为(y－74)2≥0，所以2(y－74)2的最小值为0，所以2y2－7y＋2的最小值是－338．【变2】当x取何实数时，式子x2－4x＋5有最小值？最小值是多少？【答案】x2－4x＋5＝x2－4x＋4＋1＝(x－2)2＋1当x＝2时，原式有最小值1．