《数学分析》第十七章-多元函数微分学

151第十七章多元函数微分学(16时)§1可微性(4时)一．可微性与全微分：1．可微性：由一元函数引入.))()((22yx亦可写为yx,),(yx)0,0(时),()0,0(.2．全微分:例1考查函数xyyxf),(在点),(00yx处的可微性.[1]P105E1二.偏导数:1.偏导数的定义、记法:2.偏导数的几何意义:[1]P109图案17—1.3.求偏导数:例2,3,4.[1]P142—143E2,3,4.例5设.0,0,0,),(22222223yxyxyxyxyxf证明函数),(yxf在点)0,0(连续,并求)0,0(xf和)0,0(yf.证)sincos(lim),(lim2320sin,cos)0,0(),(yxyxyxf)0,0(0)sincos(lim230f.),(yxf在点)0,0(连续.)0,0(xf0||lim)0,0()0,(lim300xxxxfxfxx,)0,0(yf||lim)0,0(),0(lim200yyyyfyfyy不存在.Ex[1]P116—1171⑴—⑼，2—4.152三.可微条件:1.必要条件:Th1设),(00yx为函数),(yxf定义域的内点.),(yxf在点),(00yx可微),(00yxfx和),(00yxfy存在,且),(00),(00yxdfdfyx),(00yxfxx),(00yxfyy.(证)由于dyydxx,,微分记为),(00yxdf),(00yxfxdx),(00yxfydy.定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件,但不充分.例6考查函数0,0,0,),(222222yxyxyxxyyxf在原点的可微性.[1]P110E5.2.充分条件:Th2若函数),(yxfz的偏导数在的某邻域内存在,且xf和yf在点),(00yx处连续.则函数f在点),(00yx可微.(证)[1]P111Th3若),(yxfy在点),(00yx处连续,),(yxfx点),(00yx存在,则函数f在点),(00yx可微.证fyyxxf),(00),(00yx),(),(),(),(00000000yxfyxxfyxxfyyxxf01,0),(),(0000xxyxfyyyxxfxyxxyxfyyxfxy),(),(00000yxyyxfxyxfyx),(),(0000.即f在点),(00yx可微.要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件.153例7设.0,0,0,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf验证函数),(yxf在点)0,0(可微,但xf和yf在点)0,0(处不连续.证).0,0(),(,01sin),(2222yxyxyxyxf因此)(),(yxf,即)(00)0,0(),(yxfyxf,f在点)0,0(可微,0)0,0(,0)0,0(yxff.但),(yx)0,0(时,有2222221cos1sin2),(yxyxxyxxyxfx,沿方向,kxy202201||limlimkxxyxxxx不存在,沿方向,kxy极限222201coslimyxyxxx不存在;又),(yx)0,0(时,01sin222yxx,因此,),(lim)0,0(),(yxfxyx不存在,xf在点)0,0(处不连续.由f关于x和y对称,yf也在点)0,0(处不连续.四.中值定理:Th4设函数f在点),(00yx的某邻域内存在偏导数.若),(yx属于该邻域,则存在)(010xxx和)(020yyy,10,1021,使得))(,())(,(),(),(00000yyxfxxyfyxfyxfyx.(证)例8设在区域D内0yxff.证明在D内cxf)(.五.连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1．可微性的几何意义：切平面的定义.[1]P115.154Th5曲面),(yxfz在点)),(,,(0000yxfyxP存在不平行于Z轴的切平面的充要条件是函数),(yxf在点),(000yxP可微.(证略)2.切平面的求法:设函数),(yxf在点),(000yxP可微，则曲面),(yxfz在点)),(,,(0000yxfyxP处的切平面方程为(其中),(000yxfz)))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx，法线方向数为1,),(,),(0000yxfyxfyx，法线方程为1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx.例9试求抛物面22byaxz在点),,(000zyxM处的切平面方程和法线方程.[1]P115E63.作近似计算和误差估计:与一元函数对照,原理.例10求96.308.1的近似值.[1]P115E7例11应用公式CabSsin21计算某三角形面积.现测得50.12a,30,30.8Cb.若测量ba,的误差为C,01.0的误差为1.0.求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限.[1]P116E8Ex[1]P116—1175—14；§2复合函数微分法（5时）简介二元复合函数:),(,),(,),(tsytsxyxfz.以下列三种情况介绍复合线路图:参阅[4]P327—328.),(,),(,),(tsytsxyxfz;,),,(zyxfu),(,),(tsytsx,),(tsz;155,),,(zyxfu),,(,),,(ztsyztsx.一.链导法则:以“外二内二”型复合函数为例.Th设函数),(,),(tsytsx在点),(tsD可微,函数),(yxfz在点),(yx),(,),(tsts可微,则复合函数fz),(,),(tsts在点),(ts可微,且),(),(),(),(),(tsyxtsyxtssyyzsxxzsz,),(),(),(),(),(tsyxtsyxtstyyztxxztz.(证)[1]P155称这一公式为链导公式.该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”（或“并联加，串联乘”）来概括.对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数.但对外函数的可微性假设不能减弱.如[1]P156的例.对外m元),,,(21muuuf,内n元),,,(21nikxxxu),,2,1(mk,有mkikkixuufxf1，ni,,2,1.外n元内一元的复合函数为一元函数.特称该复合函数的导数为全导数.例1yxveuvuzyx22,,)ln(2.求xz和yz.[1]P157E1例222uvvuz,yxvyxusin,cos.求xz和yz.例3)3(222yxyxz,求xz和yz.例4设函数),,(wvuf可微.),,(),,(xyzxyxfzyxF.求xF、yF和zF.例5用链导公式计算下列一元函数的导数:156ⅰxxy;ⅱxxxxycossinln)1(2.[1]P158E4例6设函数),(yxuu可微.在极坐标变换sin,cosryrx下,证明222221yuxuurru.[1]P157E2例7设函数)(uf可微,)(22yxyfz.求证xzyzxyxzy2.二.复合函数的全微分:全微分和全微分形式不变性.例8)sin(yxezxy.利用全微分形式不变性求dz,并由此导出xz和yz.[1]P160E5Ex[1]P160—1611—5.三.高阶偏导数:1.高阶偏导数的定义、记法：例9,2yxez求二阶偏导数和23xyz.[1]P167E1例10xyarctgz.求二阶偏导数.[1]P167E22.关于混合偏导数:[1]P167—170.3.求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数:公式,[1]P171例11),(yxxfz.求22xz和yxz2.[1]P171E34.验证或化简偏微分方程:例1222lnyxz.证明22xz+22yz0.(Laplace方程)157例13将方程0xuyyux变为极坐标形式.解xyarctgyxrryrx,.sin,cos22.rxyxxxr22,ryyr,2ryx,2rxy.uryrurxxuxrruxu2,urxruryyuyrruyu2;因此,uuryxuryrurxyurxrurxyxuyyux2222222.方程化简为0u.例14试确定a和b,利用线性变换byxtayxs,将方程03422222yuyxuxu化为02tsu.解tusuxttuxssuxu,tubsuayttuyssuyu.22xu=xtusu22suxs+tsu2xt+stu2xs+22tuxt==22su+2tsu2+22tu.yxu2=ytusu22suys+tsu2yt+stu2ys+22tuyt==22sua+)(batsu2+b22tu.15822yu=ytubsua222sua+ab2tsu2+2b22tu.因此,2222234yuyxuxu)341(2aa22su+()6442abbatsu2+)341(2bb22tu.令03412aa,1,31,03412babb或31,1ba或……,此时方程03422222yuyxuxu化简为02tsu.Ex[1]P1831，2.§3方向导数和梯度（3时）一．方向导数：1．方向导数的定义：定义设三元函数f在点),,(0000zyxP的某邻域)(0P3R内有定义.l为从点0P出发的射线.),,(zyxP为l上且含于)(0P内的任一点,以表示P与0P两点间的距离.若极限fPfPfl000lim)()(lim存在,则称此极限为函数f在点0P沿方向l的方向导数,记为0Plf或)(0Pfl、),,(000zyxfl.对二元函数),(yxfz在点),(000yxP,可仿此定义方向导数.易见,xf、yf和zf是三元函数f在点0P分别沿X轴正向、Y轴正向和Z轴159正向的方向导数.例1),,(zyxf=32zyx.求f在点0P)1,1,1(处沿l方向的方向导数,其中ⅰl为方向)1,2,2(;ⅱl为从点)1,1,1(到点)1,2,2(的方向.解ⅰl为方向的射线为令112121zyx)0(t.即)0(,1,12,12