差分方程模型的稳定性分析

O175.11306052104Stabilityanalysisofdifferenceequationmodel分类号学号密级10722公开题目（中、英文）差分方程模型的稳定性分析作者姓名指导教师学科门类提交论文日期专业名称学校代码成绩评定党臭燕数学与应用数学王振华二零一六年六月理学咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）I摘要微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性差分方程模型的稳定性分析IIAbstractDifferenceequationisalsocalledrecursiveequation,itistodescribetherelationshipbetweenthenumberofobjectivethingsofakindofimportantmathematicalmodel.Andtheuseofthedifferentialequationmodelofthesolutioncanbefoundeverywhereinlife.Suchascobwebmodelinthefreemarketeconomyistousethedifferenceequationanalysiswhentheeconomicstability,andasthefinancialproblemofpensioninsurancebreeddifferenceequationisusedtoanalysistheactualinvestmentvalue.Thispapergivesthejudgethestabilityofdifferenceequationtojudgemethod,theninthesamegroupofsheepandgrassundertheenvironmentofinteractionanalysisforthemodelaprocess,thenumberofthepopulationchange,inturn,studythestabilityofthelineardifferenceequation.Intheend,onepracticalmodeltobetterexplainthestabilityofdifferenceequation.Keywords:Differenceequation;Differenceequationmodel;Balancepoint;Stability咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）III目录摘要....................................................................................................................................................IAbstract...............................................................................................................................................II目录...................................................................................................................................................III引言.....................................................................................................................................................11、差分方程的定义及其分类...........................................................................................................1（1）差分算子：.......................................................................................................................12.差分方程的求解与稳定性判断方法:..........................................................................................2（1）差分方程的求解：...........................................................................................................2（2）.差分方程的平衡解稳定性判断方法：.........................................................................43.差分方程模型的应用：................................................................................................................43.1模型：种群模型...................................................................................................................43．11模型的引入与假设..................................................................................................43．12线性差分方程模型的建立与求解.........................................................................53．13生态模型的平衡点及稳定性分析:.......................................................................7总结...................................................................................................................................................10参考文献...........................................................................................................................................11附录...................................................................................................................................................12谢辞.................................................................................................................................................13差分方程模型的稳定性分析IV咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）1引言随着科学技术的不断发展，将数学思想融入实际生活解决社会问题变得非常普遍。所以利用差分方程建立模型也显得至关重要。在经济、社会、生态、医疗、网络、遗传学得某些数据都是按时、日、周、星期、月份、年等汇总和统计的，这时将时间离散化后建立差分方程模型更为方便，从而解决社会问题趋于稳定的状态，它是描述客观世界中随离散变量演变规律的一种重要的建立模型的方法，在现实生活中有很多问题都是借助差分方程模型来刻画并求解的，利用数学的思路与想法来研究实际问题，从而确保某个体系稳定运作的条件，进一步再结合其他条件分析，为客观体系的安全稳定运作提供理论上的保障，因此差分方程模型的稳定性分析是我们数学中研究的一个重要课题。本文以同一空间下的羊群和草群的相互作用为模型分析这两物种的数量变化过程，进而研究线性差分方程的平衡点及其稳定性；最后根据差分方程的平衡点及其稳定性分析的相关理论解决实际问题。我相信差分方程的稳定性相关理论将在未来更为应用普遍。1、差分方程的定义及其分类（1）差分算子：定义1：设()fx是定义在R上的函数，则()(1)()fxfxfx称()fx在x的差分，称为差分算子，()(1)Efxfx称()fx在x的位移，E称为位移算子；用I表示恒等算子，即()()Ifxfx,这些算子都是线性算子，都是针对函数所定义的映射。（2)差分方程：定义2：含有未知函数及未知函数差分的等式，我们称为差分方程，它的一般表达形式为：(,(),(),......())0ngkxkxkxk由（1）与（2）的关系，可以将阶数为n的差分方程写为(,(),(1)......())0fkxkxkxkn或者(,(),().......())0nfkxkExkExk差分方程模型的稳定性分析2我们称f不显含k时的方程为自治差分方程。形如(1)(())xkfxk表示一阶差分方程；(1)((),(1)......())xkfxkxkxkn表示n阶差分方程。（2）差分方程的分类：差分方程可以分为两大类：其一为线性差分方程，它是指当(,(),(1)......())fkxkxkxkn是(),(1).....()xkxkxkn的线性函数时，称(,(),(1)......())0fkxkxkxkn为线性差分方程；也就是说(),(1).....()xkxkxkn的次数都为1，其二为非线性差分方程，它是指当(,(),(1)......())fkxkxkxkn是(),(1).....()xkxkxkn的非线性函数时，称(,(),(1)......())0fkxkxkxkn为非线性差分方程。显而易见，非线性差分方程求解比线性差分方程求解复杂，因此它的解的性态也比较难分析，本文我们只研究线性差分方程解的性态。2.差分方程的求解与稳定性判断方法:（1）差分方程的求解：使得差分方程称为恒等式的序列称为差分