2020北京高三延庆一模数学试题及答案

高三年级（数学）第1页（共4页）延庆区高三模拟考试试卷数学2020.3本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。（1）已知复数2i2izaa是正实数，则实数a的值为（A）0（B）1（C）1（D）1（2）已知向量(1,)ak，(,2)bk，若a与b方向相同，则k等于（A）1（B）2（C）2（D）2（3）下列函数中最小正周期为的函数是（A）sinyx（B）1cos2yx（C）tan2yx（D）|sin|yx（4）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（A）1yx（B）tanyx（C）eexxy（D）2,02,0xxyxx（5）某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为433，则它的表面积为（A）8（B）12（C）443（D）20（6）251(2)xx的展开式中，4x的系数是11正（主）视图11侧（左）视图俯视图高三年级（数学）第2页（共4页）（A）160（B）80（C）50（D）10（7）在平面直角坐标系xOy中，将点(1,2)A绕原点O逆时针旋转90到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为，则cos等于（A）255（B）55（C）55（D）25（8）已知直线,ab，平面,，b，//a，ab，那么“a”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）某企业生产,AB两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,AB两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg20.3010）（A）6年（B）7年（C）8年（D）9年（10）已知双曲线22:1169xyC的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于,AB两点，且60AFB，则BOF的面积为（A）332（B）932（C）32（D）92第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知集合{|1}kMxx，且3M，则k的取值范围是．（12）经过点(2,0)M且与圆221xy相切的直线l的方程是．（13）已知函数22()sinsin2cosfxxxx，则()12f．高三年级（数学）第3页（共4页）（14）某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有种；这三天售出的商品至少有种.（15）在ABC中，10AB，D是BC边的中点.若6AC，60A，则AD的长等于；若45CAD，62AC，则ABC的面积等于.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，4AB，PDPC，O是CD的中点，PO平面ABCD，E是棱PC上的一点，//PA平面BDE.（Ⅰ）求证：E是PC的中点；（Ⅱ）求证：PD和BE所成角等于90.（17）（本小题14分）已知数列{}na是等差数列，nS是{}na的前n项和，1016a，.（Ⅰ）判断2024是否是数列{}na中的项，并说明理由；（Ⅱ）求nS的最值.从①810a，②88a，③820a中任选一个，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。（18）（本小题14分）A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：A班121313182021B班1111.512131317.520C班1113.5151616.51921OEDACBP高三年级（数学）第4页（共4页）（Ⅰ）试估计A班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.（19）（本小题14分）已知函数2221()1axafxx，其中0a.（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数()fx在[0,)上存在最大值和最小值，求a的取值范围.（20）（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)xyGabab的左焦点为(2,0)F，且经过点(2,1)C，,AB分别是G的右顶点和上顶点，过原点的直线与G交于,PQ两点（点在第一象限），且与线段交于点.（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若3PQ，求直线的方程；（Ⅲ）若的面积是的面积的4倍，求直线的方程.（21）（本小题14分）在数列{}na中，若*naN，且1,,23,nnnnnaaaaa是偶数是奇数（1,2,3,n），则称{}na为“J数列”.设{}na为“J数列”，记{}na的前n项和为nS.（Ⅰ）若110a，求3nS的值；（Ⅱ）若317S，求1a的值；OlQABMlBOPΔBMQl高三年级（数学）第5页（共4页）（Ⅲ）证明：{}na中总有一项为1或3.延庆区2019-2020学年度高三数学试卷评分参考一、选择题:（每小题4分，共10小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C2．D．3．D4．C5.B6．B7．A8.C9.B10.A二、填空题:（每小题5分，共5小题，共25分）11．(,3)；12.3(2)3yx；13．132；14．16,29；15．7,42.10.考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率），平行四边形的定义和性质（相邻内角互补），三角形的性质（余弦定理、面积公式）.正切两角和公式15.在ACD中，sin2sin45ACCD，在ABD中，sin1sin3ABBD，相除得：3sin35，所以72sinsin(453)10A，所以1sin422ABCSABACA.三、解答题：（共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤.）16.（Ⅰ）联结AC，设AC与BD交于F，联结EF，…………1分因为//PA平面BDE，平面PAC平面BDE=EF,所以//PAEF…………4分因为ABCD是正方形，EDACBPFOxAF1FyBADCB132高三年级（数学）第6页（共4页）所以F是AC的中点所以E是PC的中点…………6分（Ⅱ）（法一）因为PO平面ABCD，所以POBC…………7分因为ABCD是正方形，所以BCCD因为POCDO所以BC平面PDC…………10分所以BCPD因为PDPC因为BCPCC所以PD平面PBC…………13分因为BE平面PBC所以PDBE所以PD与BE成90角.…………14分（法二）连接OF，因为PO平面ABCD，所以POCD，POOF.………7分因为ABCD是正方形，所以OFCD.所以,,OFOCOP两两垂直.以,,OFOCOP分别为x、y、z建立空间直角坐标系Oxyz.………8分则(0,0,2)P，(0,2,0)D，(4,2,0)B，(0,1,1)E，………9分(0,2,2)PD，(4,1,1)BE,………10分0(4)(2)(1)(2)1PDBE（………1分）0………13分所以所以PD与BE成90角.………14分17.解：选①（Ⅰ）因为10816,10aa，所以3d…………2分高三年级（数学）第7页（共4页）所以187102111aad…………4分所以1(1)11(1)3naandn314n…………6分令3142024n，则32038n此方程无正整数解所以2024不是数列{}na中的项.…………8分不能只看结果；某一步骤出错，即使后面步骤都对，给分不能超过全部分数的一半；只有结果，正确给1分.（Ⅱ）（法一）令0na，即3140n，解得：142433n当5n时，0,na当4n时，0,na…………11分当4n时，nS的最小值为41185226S.…13分nS无最大值…………14分只给出最小值-26，未说明n=4扣1分.nS无最大值…1分（Ⅱ）（法二）21()325222nnnaaSnn，2514266ba…………11分当4n时，nS的最小值为43251642622S.…13分nS无最大值…………14分选②（Ⅰ）10816,8aa，高三年级（数学）第8页（共4页）4d…………2分18782820aad…………4分1(1)20(1)4naandn424n…………6分令4242024n，则42048n解得512n2024是数列{}na中的第512项.…………8分（Ⅱ）令0na，即4240n，解得：6n当6n时，0,na当6n时，0,na当6n时，0,na…………11分当5n或6n时，nS的最小值为562016128460SS.…………13分nS无最大值…………14分选③（Ⅰ）10816,20aa，2d…………2分187201434aad…………4分1(1)34(1)(2)naandn236n…………6分令2362024n，则994n（舍去）2024不是数列{}na中的项.…………8分（在1,ad的基础上利用单调性作出正确判定给满分）（Ⅱ）令0na，即2360n，解得：18n高三年级（数学）第9页（共4页）当18n时，0,na当18n时，0,na当18n时，0,na…………11分当17n或18n时，nS的最大值为171818(340)3062SS.…………13分nS无最小值.…………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自A班的学生有6名．根据分层抽样方法，A班的学生人数估计为61203620．…………3分只有结果36扣1分（Ⅱ）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，…………4分设此人一周上网时长超过15小时为事件D,其中D包含的选法有3+2+4=9种，…………6分9()20PD.…………7分由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为920.……………8分只有结果920而无必要的文字说明和运算步骤，扣2分.（Ⅲ）设从A班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有(12)ii人一周上网超过15小时为事件iE,从B班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件F则所求事件的概率为：2111135332212167151811()15735CCCCCPEFEFCC.……………14分（Ⅲ）另解：从A班的6人中随机选2人，有26C种选法，从B班的7人中随机选1高三年级（数学）第10页（共4页）人，有17C种选法，故选法总数为：2167157105CC种……………10分设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为E，则E中包含以下情况：（1）从A班选出的2人超15小时，而B班选出的1人不超15小时，（2）从A班选出的2人中恰有1人超15小时，而B班选出的1人超15小时，……………11分所以21111353322167151811()15735CCCCCPECC.……………14分只有2111135332216715