用有限覆盖定理证明实数完备性的几个定理

1第一章前言众所周知,极限的存在性问题是极限理论的首要问题.一个数列是否存在极限不仅与数列本身的结构有关,而且与数列所在的数集密切相关.从运算的角度来说,实数集关于极限的运算是封闭的,它反映了实数集的完备性,这是实数的优点.因此,将极限理论建立在实数集之上,极限理论就有了坚实的基础.我们常常从实数系的连续性出发证明实数系的完备性,也可从实数系的完备性出发去证明实数系的连续性,所以这两个关系是等价的.因此,我们也称实数系的连续性为实数系的完备性.数学分析课程是高等学校数学专业的主要基础课程之一,更是高等师范学校数学教育专业最主要的基础课程.在数学分析教材中,实数集的确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理和有限覆盖定理通称为实数的完备性定理,他们各自从不同的角度反映了实数的完备性或称为实数的连续性,成为数学理论乃至数学分析坚实的基础.这六个基本定理是相互等价的,也就是说可以相互循环论证.在我们学过的刘玉琏等主编的数学分析讲义中,实数完备性基本定理是从公理出发,首先运用公理证明了闭区间套定理,然后用前一个定理为条件,证明了后一个定理的结论,它们依次是:确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则的充要性,最后再运用柯西收敛准则的充要性证明了公理（作为练习题）.而在本文中把有限覆盖定理作为出发点,利用反证法和有限覆盖的思想来分别证明确界原理、单调有界定理、区间套定理、聚点定理、柯西收敛准则.下面我们就来阐述有限覆盖的定义和定理的内容,为后面的证明做铺垫.定义1.2.1]2[设S为数轴上的点集,H为开区间的集合,（即H的每一个元素都是形如),(的开区间）,若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内,则称H为S的一个开覆盖,或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限（有限）的,则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.定理1.2.1]2[（有限覆盖定理）设H为闭区间],[ba的一个（无限）开覆盖,则从H中可选出有限个开区间来覆盖],[ba.2第二章有限覆盖定理证明实数完备性的其它定理2.1用有限覆盖定理证明确界定理本节主要运用有限覆盖定理证明确界定理,首先给出确界的定义和定理如下:定义2.1.1]2[有非空的数集E,如果存在,有下列性质:（1）对任意Ex,有x;（2）对任意0,总存在某个数Ex0,有0x,则称是数集E的上确界,认为:Esup.定义2.1.2]2[非空的数集E,如果存在,有下列性质:（1）对任意Ex,有x;（2）对任意0,总存在某个数Ex0,有0x,则称是数集E的下确界,认为:Einf.定理2.1.1]2[（确界定理）任何非空集RE,若它有上界,则必有上确界REsup（等价地若有下界,必有下确界）.证明设ExRE,有Mx.任取一点Ex0,考虑闭区间],[0Mx,假若E无上确界（最小上界）,那么),[0Mxx:i)当x为E的上界时,必有更小的上界xx1,因而x有一开领域x,其中皆为E的上界;ii)当x不是E的上界时,自然有E中的点xx2,于是x有开领域x,其中每点皆不是E的上界.],[0Mx上每点都找出一个领域x,它要么属于第一类（每点为上界）,要么属于第二类（每点皆不是上界）,这些领域]},[:{0Mxxx,组成闭区间],[0Mx的一个开覆盖,由有限覆盖定理,必存在有限子覆盖{,1…n,},注意,M所在3的开区间,应为第一类的,相邻接的开区间x有公共点,也应为第一类的,经过有限次邻接.可知0x所在的开区间也是第一类,这便得出矛盾.从而得证非空集RE,若它有上界,则必有上确界.同理可证非空集RE,若它有下界,则必有下确界.2.2用有限覆盖定理证明单调有界定理本节主要运用有限覆盖定理证明单调有界定理,首先给出单调有界的定义和定理如下:定义2.2.1]2[若数列}{na的各项满足关系式1nnaa)(1nnaa,则称}{na为递增（递减）数列.递增数列和递减数列统称为单调数列.定理2.2.1]2[（单调有界定理）任何有界的单调数列一定有极限.证明不妨设],[}{baxn为单调有界数列,若对],[bax,x都不是}{nx的极限,则,00对,NN有,||0xxn则在)2;(0xU内仅含有}{nx的有限项,令]},[|)2;({baxxUH,则H是闭区间],[ba的一个开覆盖,由有限覆盖定理知:其必存在有限子覆盖,不妨设存在),2,(),2,(2211xUxU…)2,(,nnxU是它的一个子覆盖,即],[)2;(1baxUiini,而,2,1)(2,(ixUii…),n只含有限个点,从而它们的并也只含有限个点,从而得出],[ba也只含有限个点,这与],[ba是无限点集矛盾,从而得证任何有界的单调数列一定有极限.2.3用有限覆盖定理证明区间套定理本节主要运用有限覆盖定理证明区间套定理,首先给出区间套的定义和定理如下:定义2.3.1]2[若闭区间列]},{[nnba具有下列性质:（1）],[],[11nnnnbaba,n=1,2,3…;（2）0)(limnnnab则称这个闭区间列]},{[nnba为闭区间套,或称区间套.4定理2.3.1]2[（区间套定理）若]},{[nnba是一个区间套,则存在唯一一点,使得][,nnba,n=1,2,3,…或nnba,n=1,2,3,…证明设]},{[nnba为闭区间套,但对],[11'bax,至少Nk,使],['kkbax,从而0'x,使],[),(''kkxbaxU.现因]},[|),({'''baxxUGx是],[11ba的一个开覆盖,故G中有限个开区间即可完全覆盖],[11ba,记为}1|),({*nixUGii,其中],[),(iikkiibaxU（i=1,2,…,n;2ik）.令,,max(210kkk…),nk,则],[],[001babaiikkni.于是对)1(nii,都有],[),(00kkiibaxU,由此得出],[)),((],[00001*kkiinikkbaxUbaG这与*G为],[11ba的开覆盖条件矛盾,从而假设不成立,问题得证.2.4用有限覆盖定理证明聚点定理本节主要运用有限覆盖定理证明聚点定理,首先给出聚点的定义和定理如下:定义2.4.1]2[设S是直线上的点集}{x,是一个定点（它可属于S,也可不属于S）.若的任意领域内含有S的无限多个点x,则称为S的一个聚点.其等价定义:对于点集}{xS,若点的任意邻域内都含有S的一个异于的点x（即xSx),,(）,则称为S的一个聚点.定理2.4.1]2[（聚点定理）直线上的有界无限点集S至少有一个聚点.证明设E为直线上有界无穷点集,若存在0M,使],[MME中任何点不是E的聚点,则对每一个],[MMx,必存在相应的0x,使得在),(xx内至多含有E的有限多个点.设]},[|),({MMxxHx,则H是],[MM的一个开覆盖,由有限覆盖定理,H中存在有限个开覆盖),(jxjx（j=1,2,3,…）构成],[MM的一个开覆盖,当然也覆盖了E.则在],[MM中至多含有E的有限多个点jx（j=1,2,3,…）.故E为有限点集,这与题设E为无限点集相矛盾.于是,E至少有一个聚点.52.5用有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则本节主要运用有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则,首先给出Cauchy收敛准则如下:定理2.5.1]2[（柯西收敛准则）数列}{na收敛的充要条件是:对任给的正数,总存在某一个自然数N,使得Nmn,时,都有||nmaa柯西收敛准则又叫实数完备性定理.柯西收敛准则（充分性部分）若实数列}{nx满足:0,NmnNN,,,有||mnxx,则}{nx收敛.证明,,,0NnNN有||||||||||||111111NNNnNNnnNnxxxxxxxxxx其中}{2,1nxNNn是有界的,设],[}{baxn,若对],[bax,x都不是}{nx的极限,则,00对,NN有,||0xxn则在)2;(0xU内仅含有}{nx的有限项,令]},[|)2;({baxxUH,则H是闭区间],[ba的一个开覆盖,由有限覆盖定理知:其必存在有限子覆盖,不妨设存在),2,(),2,(2211xUxU…)2,(,nnxU是它的一个子覆盖,即],[)2,(1baxUinii,而,2,1)(2,(ixUii…),n只含有限个点,从而它们的并也只含有限个点,从而得出],[ba也只含有限个点,这与],[ba是无限点集矛盾,从而假设不成立,问题得证.柯西收敛准则（必要性部分）若实数列}{nx收敛,则}{nx满足:0,NmnNN,,时,有||mnxx成立.证明设}{nx收敛于,按照收敛的定义,NmnNN,,,0时,有,2||,2||mnxx于是22|||||)()(|||mnmnmnxxxxxx.62.6总结众所周知,实数系的完备性是实数的一个重要特征,与之相关的6个基本定理是彼此等价的,并且是论证其它一些重要定理（如一致连续定理等）的依据,确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、柯西收敛准则属于同一类型,它们都指出,在某一条件下，便有某种“点”存在,而有限覆盖定理属于另一种类型,它是其它实数完备性定理的逆否形式,不论是前五个定理来分别证明有限覆盖定理,还是在本文研究的用有限覆盖定理分别推出前五个定理,都可用反证法完成;同时需要特别强调的是有理数集并不具有完备性.7参考文献[1]刘玉琏等,数学分析讲义与指导[M],第2版,高等教育出版社,2005.[2]华东师范大学数学系,数学分析[M],第2版,高等教育出版社,1991.[3]裴礼文编的数学分析中的典型问题与方法,第2版,高等教育出版社.[4]陈纪修等,数学分析[M],第2版,高等教育出版社,2004.[5]裘兆泰、王承国、章仰文编的数学分析学习指导[M],科学出版社,2004.8致谢为期近半年的论文写作即将画上一个圆满的句号,在论文写作的过程中,从论文的选题到确定思路,从资料的搜集、提纲的拟定到内容的写作与修改,继而诸多观点的梳理,都得益于我的导师——李老师的悉心指导和匠心点拨.论文的点评中总是闪烁着智慧的火花,与她的每次交谈我都能从中获益.她严谨的治学态度,一丝不苟的负责精神,以及对学生孜孜不倦的教诲都给予了我极其深刻的印象,让我受益匪浅.在此,谨向李老师表示我最衷心地感谢和最诚挚的敬意.同时,也向两年来所有教授过我和帮助过我的教授老师表示感谢,感谢您们对我的谆谆教诲、耐心指导和无私的帮助.感谢我的同学和朋友们,感谢你们在我论文写作过程中给予我的鼓励、关心和无私的帮助.最后,衷心地感谢我的家人,感谢你们一直以来给予我的支持和鼓励.###2010年4月于####学院