实数基本定理的相互证明

1实数基本定理的相互证明袁文俊（广州大学数学与信息科学学院院，广东广州510405）【摘要】本文给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。【关键词】实数基本定理；等价性；数列；极限；收敛。【中图分类号】O174.5【文献标识码】A1.引言实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性，实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。本文主要给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。2.实数基本定理的陈述定理1(确界原理)非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。定理2(单调有界原理)任何单调有界数列必有极限。定理3(Cantor区间套定理)若]},{[nnba是一个区间套,则存在唯一一点，使得,2,1],,[nbann。定理4(Heine-Borel有限覆盖定理)设],[ba是一个闭区间，为],[ba上的一个开覆盖，则在中存在有限个开区间，它构成],[ba上的一个覆盖。定理5（Weierstrass聚点原理）直线上的有解无限点集至少有一个聚点。定理6（Bolzano致密性定理）有界无穷数列必有收敛子列。定理7(Cauchy收敛准则)数列}{na收敛对任给的正数，总存在某一个自然数N，使得Nnm,时，都有||nmaa。定理8(Dedekind准则，或称实数连续性定理)设序对(A,A)为R的一个分划，则或者A有最大元，或者A有最小元。由于多数教材中Dedekind分划定理是作为选学内容，因此在证明等价性时我们将分两部分进行。在第3节给出定理1到定理7之间的两两推证，而在第4节证明定理8与其它7个命题的等价性。限于篇幅，对有关概念和某些命题的简单情形(如Cauchy收敛准则的必要条件，Cantor区间套定理中点的唯一性证明，数列中仅有有限个不同数等)在本文中不予介绍和证明，读者若有兴趣，可以自己给出或可参见文献([3],[4])等。我们注意到，实数完备性基本定理等价性的互证，几乎都可以利用二等分构造区间套的方法证明，为了开阔视野，加深对这部分内容的理解，我们尽可能利用二等分法以外的方法证明定理之间的等价性。作者简介：袁文俊（1957-），男，教授，理学博士，主要从事函数论及其应用的教学与研究。基金项目：教育部重点资助项目的子项目(03A08);广东省新世纪高校教改资助项目(02042)。23.定理1到定理7的互证(1)定理1定理2(确界原理单调有界原理)证不妨设}{nx为单增有上界数列，即0M，n，有Mxn。记}|{nxEn，则由确界原理知E有上确界，不妨记为，则REsup，从而0，N使得Nx成立。因为}{nx是单调递增数列，所以Nn，有nNxx。故)(,nxn。(2)定理1定理3（确界原理Cantor区间套定理）证因为],[],[11nnnnbaba，所以1221bbbaaann。则显然数列}{na、}{nb皆为有界数列，且每个nb都是na的上界，每个na都是nb的下界所以由确界原理知,}{supnNna使得nnbaa，}{supnNnbb使得nnbba。所以||||nnbaba。又因为0)(nnab，所以ba。记ba则即有R使得],[nnba。假设还有另外一点R且],[nnba，则||||nnba,0即。从而唯一性得证。(3)定理1定理4(确界原理Heine-Borel有限覆盖定理)证设是有闭区间],[ba的任一开覆盖。令],[|{cacE可以被有限覆盖，]},[bac。因为UaaUbaa,)(],,[，所以)(aU必含有],[ba中的点ax，即)(aU覆盖],[xa。即E，且有上界b。由确界原理知,bcRcEc且,sup。下面证明Ec:为此取开区间),(,),(c，故Ex使cxa，),(x。由于],[xa有有限覆盖，故添上),(，],[ca仍有有限覆盖，从而Ec。现证bc:若bc，因c，故),,(),(bccx则Ex。这与c是E的上确界矛盾，故bc。(4)定理1定理5(确界原理Weierstrass聚点原理)证设S是直线上的有界无限点集，则由确界原理有SSinf,sup。若,中有一点不是S的孤立点，则显然就是S的一个聚点。否则，令SRxE{:中仅有有限个数小于}x。显然E非空且有上界。令Esup，则由E的构造方法可知，0必有E，即S中有无限个数小于大于。所以),(中含有S的无限个数，故是S的聚点。(5)定理1定理6(确界原理Bolzano致密性定理)证设}{nx是有界无穷数列，则由(4)的证明可知，}{nx有聚点。再由聚点的等价定义可知，在}{nx中存在点列以该聚点为极限。再将此收敛的点列作些技术性处理就可得到的一个收敛的子列。(6)定理1定理7(确界原理Cauchy收敛准则)证设}{nx为Cauchy基本列，则,,0,0NnmN有mnxx。易证}{nx为有界列。由确界原理可知，}inf{},sup{nnxx。3Case(1)若max{}nx或者min{}nx。不妨设min{}nx则0,N使得nx。设12k，则必1()kkknnn使得12knkx。令k，则knx。即0,0K使得当kK时，有||knx。由于}{nx为Cauchy基本列，所以10,max{,}NNK使得1nN有||||||2kknnnnxxxx。故)(,nxn。。Case(2)若max{}nx且min{}nx，则令{}nEx，1{max,min}EEEE。若1E有Case(1)的条件，则可知{}nx收敛。否则令211{max,min}EEEE。依次递推，若NE有Case(1)的条件成立，则可知}{nx收敛。否则nN，NE有最大最小值，则得两个数列{}na，minnnaE和{}nb，maxnnbE。其中{}na单增、{}nb单减且都有界。记sup{}naa，则0,02N，使得2nN，有aaaanN2。所以0},max{,023NNN，使得3Nn有233aaaxaxNNnn。故当n时}{nx收敛。(7)定理2定理1(单调有界原理确界原理)证设S是非空有上界集合，不妨设S中有一个正数。现构造函数列:Step(1)由于S有上界，所以S中的数必有一个最大的整数部分，记为0e。记集合}][{00exSxE，则0xE，有001exe。Step(2)设0E中各数的一位小数中最大是为1e。记集合1001{|[()10]}ExExee，则1xE，有0101110eexee。Step(n)设1nE中第n位小数中最大的为ne记集合1{|nnExExn的第位数为}ne，则4nxE，有01011nneeexeee从而得到一数列记为}{nx其中01nnxeee，且}{nx单增有上界，故由单调有界原理知}{nx收敛。不妨记为exnnlim，n有01neeee，所以e为S的一个上界。现证supeS:因为0,0N使得nN有exen，即nnxeSx,。所以由上确界定义知supeS。(8)定理2定理3(单调有界定理Cantor区间套定理)证因为11[,][,]nnnnabab，所以有1221nnaaabbb从而可见数列{}na单增有上界，数列{}nb单减有下界故由单调有界定理可知Ra使得aannlim，Rb使得bbnnlim。且nN有,naanN有nbb，所以,[,]nnabab，于是成立nnabab0。又因为0)(limnnnab，所以ab。记ab，从而存在性得证。(9)定理2定理4(单调有界原理Heine-Borel有限覆盖定理)证(反证法)假设闭区间[,]ab有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖。定义性质P：不能用中有限个开区间覆盖。Step(1)将[,]ab等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P，不妨记该区间为11[,]ab，则11[,][,]abab;Step(2)将11[,]ab等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P，不妨记该区间为22[,]ab，则2211[,][,]abab;Step(n)将11[,]nnab等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P，不妨记该区间为[,]nnab，则11[,][,]nnnnabab;由此可得一个区间套{[,]}nnab且满足2nnnbaba。(3.1)所以{}na为单增有上界数列，{}nb为单减有下界的数列。所以由有单调有界原理可知12,R使得1limnna，2limnnb。由(3.1)易知，12。从而UU),(，NnN,0，有UUbann),(],[，这与],[nnba具有性5质P矛盾。这就证明了Heine–Borel有限复盖定理。(10)定理2定理5(单调有界原理Weierstrass聚点定理)证设E是直线上的有界无限点集。容易证明结论一：若E无最大数，则从E中去掉任意有限点集F所得无限点集仍然无最大数。现在我们从E中挑选单调数列如下：Case(1)当E无最大数时，由结论一知，对于Ex1，}{\12xEx使21xx；因},{\21xxE仍然是无最大数的无限集,由结论一知，},{\213xxEx使32xx；此过程可以无限继续下去，于是就从E中找到了一个单调递增数列}{nx。Case(2)当E有最大数1x时，考察}{\1xE，若它无最大数，则由Case(1)讨论可得一个单调递增数列；若}{\1xE有最大数2x，显然有21xx;此过程可以无限继续下去，于是就从E中找到了一个单减数列}{nx或单增数列。由单调有界原理知，从E中挑选单调数列}{nx有极限a。再由聚点的等价定义知，E至少有一个聚点a。(11)定理2定理6(单调有界原理Bolzano致密性定理)证设}{nx为一有界无穷点列，则对(10)的证明做点技术性处理，就是保证挑选的数列构成}{nx的子列即可。事实上因为每个},,{\}{1knnnxxx都含有}{nx的无限多项，所以必存在kknnnnnknnnxxxxxExkkkk1,},,,{\}{:111，如果kE无最大数。(12)定理2定理7(单调有界原理Cauchy收敛准则)证设}{nx为一Cauchy基本列，则易证}{nx有界，由(10)和(11)的证明可知存在}{nx的一个子列}{knx单调且有界，由单调有界原理可知，}{knx有极限x。参照的证明就知道}{nx收敛。(13)定理3定理l(Cantor区间套定理确界原理)证明：设S是有上界集合，不妨设b是的一个上界，取aS构造区间[,]ab，定义性质:P闭区间E满足11,xExS且22,xExS。仿(9)的证明对[,]ab按性质P，用二等分法，可以构造出区间套]},{[nnba，其中每个nb为S的上界。由Cantor区间套定理知存在唯一的[,]nnab且为}{nb的一个下界为}{na的一个上界，使得0,0,N当nN时，有),(],[Ubann。故0,()maSmN使得ma，故为S的上确界。(14)定理3定理2(Cantor区间套定