拉格朗日中值定理及应用

3.3.1拉格朗日中值定理定理3.3(拉格朗日中值定理)(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;,),(内至少存在一点则在开区间ba使得)()()(fabafbf3.3拉格朗日中值定理及其应用若函数f(x)满足:ab12xoy)(xfyABCD几何解释:分析:化为罗尔定理的结论形式,0)()()(xxabafbfxf使得欲证存在),,(ba在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线平行于弦AB.证作辅助函数xabafbfxfxF)()()()(,)(满足罗尔定理的条件xF,),(内至少存在一点则在ba,0)()()(abafbff).)(()()(abfafbf拉格朗日中值公式.0)(F使得即或,),()(内可导在设baxf)10(,)()()(xxxfxfxxfy则有),,(,baxxx推论1设,),(,],[)(内可导在上连续在babaxf.],[)(,0)(上恒为常数在则若baxfxf,],[)(21条件上满足拉格朗日定理的在xxxf证,],[,21baxx)(),)(()()(211212xxxxfxfxf,0)(,0)(fxf由),()(21xfxf.)(为常数即xf,21xx不妨设例1证明当.4arcsin2111arctan,1xxxx有时证,40arcsin1arctan)0(fC221121)1(211211111)(xxxxxxxf)1,1(,)(xCxf),1,1(,0x)1,1(,arcsin2111arctan)(xxxxxf令1,4arcsin2111arctanxxxx而故,1lnln1bbabaa).0(,lnbabbabaaba例2证明),,(ab所以证,],[)(条件上满足拉格朗日定理的在abxf).0(,lnbabbabaaba令,ln)(xxf,1)(xxf,111ba由.lnln1)(babaf使得故证21,],0[cos上单调减少在又x12coscos.)(,cossinsin21111212xxxxxx命题得证.)(,cossinsin32222323xxxxxx,0321时xxx,],[],,[sin3221条件上满足拉格朗日定理的在xxxxx23231212sinsinsinsinxxxxxxxx例3证明当例4设证明内可导在上连续在,),(,],[)(babaxf证，设)()(xxfxF上使用在对],[)(baxF拉格朗日中值定理,)()()()(ffabaafbbf),,(ba使得),()()(FabaFbF即).()()()(ffabaafbbf使得内至少存在一点在,),(ba,),(,],[)(内可导在上连续在babaxF例4设证明内可导在上连续在,),(,],[)(babaxf另证证，设kxxxfxF)()(令上使用在对],[)(baxF罗尔定理,)()()()(ffabaafbbf,)()(kabaafbbf整理得,)()(kaaafkbbbf),,(ba使得.0)(F故).()()()(ffabaafbbf，0)()(kff即使得内至少存在一点在,),(ba推论2,],[)(上连续在设函数baxf，内如果在0)(),()2(xfba)(xf则函数单调递增;单调递减.3.3.2函数的单调性,0)(),()1(xfba内如果在)(xf则函数在(a,b)内可导.证(1)],,[,21baxx,21xx且由拉格朗日定理),)(()()(1212xxfxfxf内，若在),(ba,0)(f则),()(12xfxf.],[)(上单调递增在故baxf)(21xx,0)(xf在[a,b]上在[a,b]上解例4讨论函数的单调性.1)(xexfx1)(xexf,)0,(内在,0)(xf单调递减；所以函数在]0,(,),0(内在.),0[单调递增所以函数在).,(定义域为注1:推论2对于开、闭、有限或无穷区间都正确.,0)(xf注2:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,,3xy,00xy.),(上单调递增但在函数的单调区间求法:不存在的点的根及用方程)(0)(xfxf若函数在其定义域的某个区间内是单调的,,)(的定义区间划分函数xf然后判定区间内导数的符号.的分界点．则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间解)0(,32)(3xxxf,0时当x32xy)0,(),0(x)(xf)(xf).,(定义域为xyO导数不存在.例5讨论函数的单调性.32)(xxf单调递减；函数在所以]0,(,.),0[单调递增在解.8,0)(xxf得令).,(定义域为)0,()8,0(),8(x)(xf)(xf例6讨论函数的单调性.323)(xxxf321)(xxf,0时当x导数不存在;)0(,233xxx上单调递增；函数在所以),8[],0,(,.]8,0[上单调递减在3)1(,1)0(ff)1.0(,0223)(2xxxxf由零点定理,例7讨论方程在内的实根.01223xxx)1,0(，令12)(23xxxxf解原方程在内至少有一实根.)1,0(,)]1,0[)(,上单调递增在所以xf综上所述,原方程在内有且仅有一个实根.)1,0(因此,原方程在内至多有一实根.)1,0(作业习题3.3(123页)2.3.(1)(4)5.6.(1)8.