罗尔中值定理

《高等数学》知行合一罗尔中值定理微分中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理xyAy=f(x)abBCT与x轴平行12D一、罗尔中值定理xy0ABy=f(x)CDa12b若函数f(x)满足：（1）在[a,b]上连续；（2）在（a,b）内可导；（3）f(a)=f(b).0.)(f,,使得）（则至少存在一点ba证明思想xy0fmaxfminABab0)(f0)(f上连续，在证明：],[)x(fba.mM],[)x(f和最小值上必有最大值在ba.mM)1(若M)x(f则).,(x0)x(fba，由此得),,(ba.0)(f都有.mM)2(若)b(f)(fa.处取到最值不可能同时在端点，不妨设)(fMa.M)(f),(，使得内至少存在一点则在ba0)(f)x(f0x)(f)x(f,0x则若0x)(f)x(f,0x则若0x)(f)x(flim)(f-0x-0x)(f)x(flim)(f0x存在)(f0)(f)(f-.0)(f二、讨论罗尔定理的条件例如0x1],0(xxsin)x(f，，012xy。即罗尔定理的结论成立有取0,)2(f),,0(2但是f(x)在定义域上不满足罗尔定理的条件(1)和(3)。1x01x0x)(fx例1例2];1,1[xx)(f，x例3];1,0[xx)(f，x1x01x0x)(fx例1O●xy01(1)[0,1]上连续；(2)(0,1)内可导；(3)f(0)=f(1).×.0)(f),1,0(使不存在例2];1,1[xx)(f，x(1)[-1,1]上连续；(2)(-1,1)内可导；(3)f(-1)=f(1).-11×.0)(f),1,1-(使不存在●●xy0];1,0[xx)(f，x例3xy0●(1)[0,1]上连续；(2)(0,1)内可导；(3)f(0)=f(1).×1.0)(f),1,0(使不存在三、罗尔定理的初步应用.0cos-)(f)2,0(.1)2(f,0)0(f,)2,0(,]2,0[)x(f，使证明至少存在一点且内可导在上连续在例：设函数0|]xsin)x(f[xsinx-)x(f)(g:x设证明.]2,0[)x(g上满足罗尔定理条件在容易验证：.0)(g),2,0(使得在一点由罗尔定理得：至少存2.预习拉格朗日中值定理的证明，并思考它是怎么引入辅助函数的？下节课咱们请同学分享一下。1.做课后第一题。谢谢各位老师