用随机变量的特征函数求积分与级数

用随机变量的特征函数求积分与级数张庆月南开大学数学院，天津（300071）E-mail：[e-mail]摘要：本文主要讲述应用随机变量的特征函数求某些积分与级数的和，说明随机变量特征函数在数学分析中有着重要的应用．关键词：随机变量，k阶矩，特征函数中图分类号：0211.11.引言特征函数虽不如分布函数那样直观，却有很好的分析性质，利用这些性质可将积分、求和运算化为求导运算，从而求得某些积分的值和级数的和．2.定义、性质定义2．1（[1]）()Fxξ是随机变量ξ的分布函数，称函数()()ititxtEeedFxξξξϕ+∞−∞==∫为随机变量ξ的特征函数.[1]特别地(1)如果ξ为连续性的，它的密度函数为f(x)ξ,则它的特征函数为()f(x)ititxtEeedxξξξϕ+∞−∞==∫;(2)如果ξ是离散型的，它的密度矩阵为1212,,,,xxpp⎛⎞⎜⎟⎝⎠LL，则它的特征函为1()jitxitjjtEeepξξϕ+∞===∑.性质2.2（[2]）设随机变量ξ的n阶矩存在，则它的特征函数可微n次，且当kn≤时，()(0)()kkkfiEξ=.3.问题与讨论问题3.1([4])求级数1mmkm+∞=∑的和可用错位相减法来计算，那么级数21()mmkm+∞=∑和级数31()mmkm+∞=∑怎么求呢？下面我们用特征函数来解决.设ξ为几何分布：1()(m=1,2,),q=1-p,mPmpqξ−==L且0p1,则有1111()()ititppeitmmitmqqemmtepqqeξϕ+∞+∞−−=====∑∑;22(1)(1)(1)()itititititititpieqepieqepieqeqetξϕ−+−−′==;23()2(1)()itititeqeqetipξϕ+−′′=;(4)3(1)()ititititeqeqeqetipξϕ++−′′′=.于是，由特征函数的性质4得222432()(0)(1)(1)(1)(1)Eiipqqpqξϕ−−′′=−=−+−=+，3334232()(0)(14)(14)Eiipipqqpqqξϕ−−′′′=−=++=++.又因为22133111,mmmmEmpqEmpqξξ+∞+∞−−====∑∑.所以2121(1)mmmpqpq+∞−−==+∑，31321(14)mmmpqpqq+∞−−==++∑.取2211,1kkqp==−,并整理得2223(1)2(1)1()mkkmkkm+∞+−==∑.取3311,1kkqp==−,并整理得36334(41)3(1)1()mkkkmkkm+∞++−==∑.问题3.2我们知道级数(1)21nnnmm+==∑,(1)(21)261nnnnmm++==∑可以用数学分析的知识来证明，现在换个角度用特征函数将其解决.解设ξ的密度矩阵为1111,2,,,,,nnn⎛⎞⎜⎟⎝⎠LLn,则其特征函数为(1)1(1)1()ititnitnitmeennemteξϕ+−−===∑;所以(1)2[1(1)](1)()ititnintitienenenetξϕ+−++−′=,2(1)2(2)22(3)23[(1)(221)](1)()ititnitnititnitenenneeneinetξϕ+++−+++−+−−′′=⋅.由于ξ存在二阶矩，故()tϕ′连续所以(1)2[1(1)]12(1)0(0)limititnintitienenennetiξϕ+−+++−→′==,2(1)(21)(1)(21)2660(0)lim()nnnnninttiξξϕϕ++++→′′′′==⋅=.所以由特征函数性质得111122(0)nniiEiξϕ++′===,(1)(21)226()(0)nnEiξϕ++′′=−⋅=.由矩的定义知11nnmEmξ==∑,2211nnmEmξ==∑.故(1)(21)21112611,nnnnnnnmmmm+++====∑∑.即(1)21nnnmm+==∑，(1)(21)261nnnnmm++==∑.问题3.3我们知道级数()11(1)nknkk−=−∑可用数学分析的知识来求，我们不妨换个角度用特征函数来求．设随机变量ξ的密度矩阵为：()()()()012122220,1,2,,(1),,,,nnnnnnnnnn−⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠LL则其特征函数为：()1(1)20()nmmnnitmtemξϕ−−==∑12[(1)(1)(1)(1)]itnitnitnitneeee−−=+−−+++−故111112()[(1)(1)(1)(1)]itnititnititnititnittneieneieneieneieξϕ−−−−−−−−′=++−−++−所以(0)0ξϕ′=.由特征函数的性质知(0)0Eiξξϕ′=−⋅=,由数学期望的定义知()11(1)nknkkEξ−==−∑,所以有()1121(1)0nnknkk−=−=∑即()11(1)0nknkk−=−=∑.问题3.4我们知道0(1)!kxkxedxk+∞−Γ+==∫可用分步积分法来解决,下面我们换个角度，用特征函数来解决这个问题.法一：(1)当k为偶数时设随机变量ξ服从拉普拉斯分布,其密度函数为||12()xaapxe−=.则其特征函数为||11111122()()xaaaitxaaititteedxξϕ+∞−+−−∞==−∫,所以221112()()()()aaiiaitittξϕ−+−′=+;2233112212()()()()aaiiaitittξϕ+−′′=−;1111(1)!(1)!122()()()[]kkkkkaakkkiaaitittξϕ++−−+−=−.所以112(0)2!!kkkkkaikakiaξϕ+==.所以由特征函数性质()11(0)!!kkkkkkkiiEikakaξϕ===,由k阶矩的定义知||12xakkaExedxξ+∞−−∞=∫,所以||12!xakkaxedxak+∞−−∞=∫.令a=1得||2!kxxedxk+∞−−∞=∫，(1)kΓ+=0!kxxedxk+∞−=∫.(2)当k为奇数时，100(1)kxkxkxedxkxedx+∞+∞−−−Γ+==∫∫,由1k−为偶数则10(1)(1)!!kxkkxedxkkk+∞−−Γ+==−=∫.法二设随机变量ξ服从参数为1的指数分布，其密度函数为{000()xexxpx−≤=.则其特征函数为：1()(1)titξϕ−=−.所以2()(1)tiitξϕ−′=⋅−,23()2(1)tiitξϕ−′′=⋅−,,L(1)()!(1)kkktkiitξϕ−+=⋅−.故2(0),(0)2,,(0)!kkiikiξξξϕϕϕ′′′===L.由特征函数性质22(0)1,()(0)2!,EiEiξξξϕξϕ′′′=−⋅==−=,()(0)!kkkEikξξϕ=−⋅=L.由k阶矩的定义知0kkxExedxξ+∞−=∫,故0!kxxedxk+∞−=∫即(1)!kkΓ+=.问题3.5我们知道220kxxedx+∞−∫可用递推法来解决，下面我们换个角度用特征函数来解决设随机变量ξ服从12(0,)N，其密度函数为：21()xpxeπ−=.则其特征函数为：21241()titxxteedxeξπϕ+∞−−−∞=⋅⋅=∫214!0()iitii+∞==−∑,故2(2)!2(1)321114!4(1)!()()()kktkkkkktξϕ+++=−+−+LL,所以(2)!2114!2(0)()()(21)!!kkkkkkξϕ=−=−−.由特征函数的性质(21)!!2222()(0)kkkkkEiξξϕ−=−=,由2k阶矩定义2kEξ=220kxxedx+∞−∫,故2(21)!!22kkkxxedx+∞−−−∞=∫.即21(21)!!220kkkxxedx++∞−−=∫.引理([3])设ξ服从对数正态分布2(,)LNaσ其密度21(ln)212(),2xapxexσπ−−=0x，则其特征函数()ft满足2222()()()kkakkkftiefteσσ+=.深化：求积分2122(ln)0xakxedxσ+∞−−∫.解由引理得2222(1)(1)22(1)(1)(1)11(0)(0)kkkakakkkfiefieσσ+++++++++==,所以，由特征函数性质知22(1)2(1)11(1)()(0)kkakkkEifeσξ++++++=−=,由1k+阶矩的定义知2122(ln)10xakkExedxσξ+∞−−+=∫,故2221(1)222(ln)(1)0xkakakxedxeσσ++∞−−++=∫.问题3.6我们知道22cosxxdxππ−∫，222cosxxdxππ−∫可用分步积分法来求，我们换个角度用特征函数来求.设随机变量ξ的密度函数为：{1222cos0()xxpxππ−≤≤=其他,则ξ的特征函数为4sin[(1)]sin[(1)]1222111{}1()tttttttπππξϕ+−+−=±+≠±⎧=⎨⎩.我们只研究||1t时()tξϕ的性质，则22222222sin[(1)]cos[(1)]sin[(1)]cos[(1)]1211(1)(1)(){}tttttttttππππππξϕ−+⋅+−−⋅−+−+−′=+++;22222222223232sin[(1)]cos[(1)]2sin[(1)]cos[(1)]sin[(1)]()sin[(1)]()12111(1)(1)(1)(){}tttttttttttttππππππππππξϕ+⋅+−⋅−−+−−+++−′′=−+−−−.所以(0)0ξϕ′=,24(0)2πξϕ′′=−.由特征函数的性质(0)0Eiξξϕ′=−=,224(0)2Eiπξξϕ′′=−=−.由矩的定义知：222cosxExdxππξ−=∫,22222cosxExdxππξ−=∫.故22cos0xxdxππ−=∫,22222cos4xxdxπππ−=−∫.4.结论从上面的例子可以看出：利用随机变量的特征函数可以求出在数学分析非常有意义的积分的值与级数的和.这就使我们在研究数学分析时有更开阔眼界.参考文献[1]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社1983年.[2]华东师范大学数学系主编.《概率论与数理统计教程》.北京，高等教育出版社1983年10月169－179页.[3]叶林,邓筱红对数正态分布特征函数的性质.JournalofJiujiangTeacher’sCollege(NaturalScience)2002年第5期第1-2页.[4]王艳芳.随机变量的特征函数在恒等式证明中的探讨.JournalofDalianUniversity(NaturalScience).2002年第23卷（第6期）第81-82页.HowtousetheCharacteristicFunctionsofRandomVariabletoSeekCertainIntegralandSumofSeriesZhangQingyueDepartmentofmathematicnankaiuniversity,Tianjin(300071)AbstractThispapermainlydealswithhowtousethecharacteristicfunctionsofrandomvariabletoseekcertainintegralandsumofseries.Itshowsthatthecharacteristicfunctionsofrandomvariablearewellappliedinmathematicalanalysis.Keywords:randomvaria