4.2--3-幂级数(1)

判定常数项级数敛散性步骤：(i)检验是否有.0limnnu(ii)正项级数，是否等比级数或p-级数.若形式上接近两者，用比较审敛法.(iii)正项级数，用比值法或根式法求,lim,lim1nnnnnnuuu若极限为1，用其他审敛法.(iv)对任意项级数，考虑是否绝对收敛，.||1判定，用正项级数的审敛法对inu而且它们的和相等。也绝对收敛个重排）的一（称它为数的各项次序所得到的级那么任意交换它绝对收敛如果级数定理,~,1.10111nnnnnnaaa。它的和带来很大的方便具有这两个性质为计算绝对收敛级数同时，它还具有可结合性。由性质换性。又绝对收敛级数具有可交上述定理表明，4.1绝对收敛级数与条件收敛级数有很大区别，主要表现在有些运算性质对条件收敛的级数是不成立的。.,,1.11111ABcbaBAbannjinnnn对收敛，且其和为也绝级数按任何次序排列所得的可能的乘积得到的所有。那么，它们各项相乘的和分别为它们都绝对收敛与级数设级数定理1312111313332313212322212111312111bababababababababababababababababababannnnnnnnnn用的一种：常乘，按对角线排列是最两个绝对收敛的级数相1a2a1na3ana…1b2b3b1nbnb……11211:bababaccnnnnnn的通项为从而得到乘积级数.111||0xxxnn绝对收敛，其和为时，级数例如：当则12002321)()(11nnnnnnxxxxxx）（11nnnx.112）（并且它的和为x绝对收敛，时，级数当111||nnnxx•函数项级数设),(,),(),(21xuxuxun是定义在某区间I上的函数列,则)()()(21xuxuxun称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.例如级数,0nnx4321xxxx,)1(0nnnx第二节函数项级数nkknnxxxxxS11121)(nkkknxxS111)1()(•函数项级数的收敛点与收敛域如果Ix0,数项级数10)(nnxu收敛,则称0x为函数项级数)(1xunn的收敛点,否则称为发散点.函数项级数)(1xunn的收敛点全体称为收敛域,发散点的全体称为发散域.在收敛域内的任一点x,•函数项级数处处收敛（逐点收敛）收敛，在收敛域内处处收敛.收敛域记为D.)]()()([lim)()()()(2121xuxuxuxuxuxuxSnnn此时称)()()(xSxSxRnn)(limxSnn•和函数1)()(nnxuxS在收敛域D上,称由.)(:1的和函数为级数nnxuRDS0)(limxRnn则在收敛域上：定义的函数,Dx为级数的余项.例如,等比级数它的收敛域是有和函数注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.又如,级数它的和函数为1,11||,0)(xxxS第三节一、幂级数及其收敛半径幂级数第四章二、幂级数的运算性质三、函数展开成幂级数一、幂级数及其收敛半径形如的函数项级数称为幂级数,其中称为幂级数的系数.(须会求收敛半径及收敛区间)定义：00)(nnnxxa特别，幂级数为：时，00x是n次多项式。.)(lim)()(1nnnnnxaxSxSDx时，收敛域定理3.1(Abel定理)若级数0nnnxa在)0(00xxx处收敛,则当0xx时,0nnnxa绝对收敛;若级数0nnnxa在0~xx处发散,则当0~xx时，0nnnxa发散.显然，.01收敛时，nnnxax.1总有收敛点即nnnxa[说明].10非空收敛域的Dxannn.0.20对称的收敛域关于原点xxannn3.幂级数收敛域的特性发散区域发散区域收敛区域RRox)0(D};0{)1(D);,()2(D或满足下图：存在唯一的正数或R,)3(推论1如果幂级数0nnnxa既有发散点又有异于原点的收敛点，则必有一个完全确定的正数R存在,使得:当Rx时,幂级数绝对收敛;当Rx时,幂级数发散;当RxRx与时,幂级数可能收敛也可能发散.正数R称为幂级数的收敛半径.收敛域可能是),,(RR),,[RR],,(RR].,[RR规定(1)幂级数只在0x处收敛时,0nnnxa,0R收敛域为{0};(2)幂级数对一切),(x都收敛时,0nnnxa,R收敛域),(.问题如何求幂级数的收敛半径?称为幂级数的收敛区间),(RR开区间则此幂级数的收敛半径为：定理3.3设幂级数,,2,1,0,00naxannnn的系数)(lim1为数或nnnaa若1limnnnaaR.lim1nnnaR则为数或若),(1limnnna【注】),0(na或至多有限个对端点x=－1,1limnnnaaR的收敛半径及收敛域.解:11nn1对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散..]1,1(故收敛域为例1.求幂级数limn例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)limlim1nnnnaaR!1n所以收敛域为.),((2)limlim1nnnnaaR!n!)1(n0所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1!)1(1n例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用公式,比值审敛法求收敛半径.lim)()(lim1nnnnxuxu2]!)1([!])1(2[nn2]![!]2[nn22)1()22()12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数发散故收敛半径为.21R142x当)1(2nxnx2故直接由求幂级数的收敛半径和收敛域①②求收敛域时，要判别端点处所得数项级数是否收敛.;0的形式判别是否是形如nnnxa若是，用公式；若不是，作变换或用别的方法，如比值审敛法或根值审敛法.例4.的收敛域.解:令级数变为nnnnaaRlimlim1nn21)1(211nnnnnnn2)1(2lim12当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为即.31x二、幂级数的运算1.四则运算,2100RRxbxannnnnn和的收敛半径各为和设21,minRRR(1)加减法00nnnnnnxbxa,)(0nnnnxbaRRx,(2)乘法)()(00nnnnnnxbxa,0nnnxcRRx,(其中)0110bababacnnnn说明：收敛幂级数相加减或相乘所得的幂级数其收敛半径}.,min{11RR例如，考察0002)21()21(nnnnnnnnxxx的收敛半径.,212121lim11nnnR解：,212121lim12nnnR.10Rxnn的收敛半径为但}.,min{21121RRR2.和函数的性质0nnnxa)(xS(1)幂级数的和函数在收敛区间内连续.),(RR0nnnxa)(xS（2）幂级数的和函数在收敛区间内可导,并可逐项求导任意次.0)()(nnnxaxS0)(nnnxa,11nnnxna),(RRx且有逐项求导公式：逐项求导后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径.0nnnxa)(xS(3)幂级数的和函数xnnnxttattS000d)(d)(00dnxnntta.110nnnxna(收敛半径不变)在收敛区间例如，)1,1(,110xxxnn000dd11nxnxxxxx0111nnxn)1,1(x(-R,R)上可积,且有逐项积分公式),(RRx)1,1(,11)1(0xxxnnn)1,1(x000d)1(d11nxnnxxxxx011)1(nnnnx3.幂级数的和函数重要的和函数公式有：)1,1(,110xxxnn)1,1(,11)1(0xxxnnn（主要利用幂级数逐项微分和逐项积分的性质）求和函数步骤：①求所给级数的收敛区间.②利用幂级数和函数逐项积分或逐项微分的性质，处理所给级数x幂次前的系数.③讨论所给级数收敛区间端点处的收敛性,求收敛域..)1(0的和函数求nnxn例1.解：,)1()(0nnxnxS设).1,1(xxxnxxSxnnxd))1((d)(00000d)1(nxnxxn.101xxxnn).1,1(x,)1(11d)((20xxxxxSxSx）时，)1,1(x例2求级数11)1(nnnnx的和函数.,)1()(11nnnnxxS设解,11x)1ln(d)()0()()(0xttSSxSxSx),1ln()1(11xnxnnn).11(x)11(x.,1,1级数发散时级数收敛；时又xx11111)1()1()(nnnnnnxnxxS0)1(nnnx例3求和函数1)1(nnxnn并求12)1(nnnn的和.解记111)1()1(nnnnxnnxxnn11)1()(nnxnnxs11x则xdxxsxs01)()(1)1(nnxnxdxxs01)(11nnxxx1211x)()(1xsxs3)1(2x故31)1(2)1(xxxnnnn2)1(11x11x故]111[111)(21xxxxxs82)1(1nnnn11x在收敛域内存在两类问题:三、函数展开成幂级数),(,)()()(,000000RxRxxxxaxffxxxxfnnn即的和函数。表示某个收敛的幂级数某邻域内将的展开成幂级数就是在在将函数一般地需解决两个问题：能否展开为幂级数研究函数,)(xf的幂级数？才能展开为在什么条件下0xxf?,0如何确定系数的幂级数能展开为如果naxxf和函数求和展开如果函数)(xf在)(0xUR内具有任意阶导数,且在)(0xUR内能展开成)(0xx的幂级数,即nnnxxaxf)()(00，则其系数),2,1,0()(!10)(nxfnann且展开式是唯一的.从而重要结论nnnxxnxfxf)(!)()(000)()(0xUxR称an为f(x)在x0处的泰勒系数..)()(!)(0000)(处的泰勒级数在为称xxfxxnxfnnnnnnxxnxfxfTaylorxf)(!)(~)()(000)(级数，即式地写出它的任意阶可导，就可以形如果二个问题。这就是我们要讨论的第级数？可展为在什么条件下aylor)(Txf定理3.7则类函数是设,),(:00CRRxRxf级数处的内能展开成它在在TaylorxRxRxf