高中数形结合问题总结

【数形结合思想在高中数学中的应用第页共4页】1数形结合思想在高中数学中的应用灵宝实验高中王少辉一、什么是“数形结合思想”？数形结合是一种数学思考方法；是数学研究和学习中的重要思想；也是解决数学问题的有效方法。“以形助数”可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够把抽象的数学语言变为直观的图形语言、把抽象的数学思维变为直观的形象思维；“以数助形”有助于把握数学问题的本质。二、什么类型的题可以用“数形结合思想”解决？“数”和“形”是数学研究的两个基本对象。数，通俗地说一般是指文字语言、数学符号语言、代数式等；形，通俗地说一般指图形语言、函数图象、代数式的几何意义等。既能用“数”表示，又能用“形”表示的知识就可以用数形结合思想解决。数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合思想，可以解决以下问题：①集合问题②函数问题③方程与不等式问题④三角函数问题⑤向量问题⑥数列问题⑦线性规划问题⑧解析几何问题⑨立体几何问题⑩绝对值问题三、数形结合思想应用举例（一）在集合中的应用【知识点】集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集文字表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA符号语言{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}图形语言在这个知识点中集合的三种运算除了抽象的符号语言描述之外，还有直观的图形语言。所以在解决某些集合的运算问题时，我们可以用数形结合思想。【例1】(1)已知BABCACBACBCANxxxUUUUU,},10,1{},9,7,5{},6,4,2{},,10|{*求(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1x2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是_______.【小结】数形结合在集合中的应用，主要体现在集合的基本运算中：（1）离散的集合用Venn图表示（2）连续的数集用数轴表示，注意端点（二）在函数中的应用1.二次函数区间求值问题二次函数的图象我们都很熟悉，所以在解决二次函数的相关问题时，我们就可以借助图象来进行。【例2】已知12)(2axxxf，求f(x)在[1,2]上的最小值【跟踪训练】已知12)(2xxxf，求f(x)在[t,t+2]上的最小值【数形结合思想在高中数学中的应用第页共4页】22.函数性质综合应用函数的性质在图象上都有直观的反应，所以在利用函数性质解决某些问题时，我们就可以借助图象来进行。【例3】设函数4,log4,4)(22xxxxxxf，若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.【例4】已知函数0,20,2)(xxxxf，则满足不等式)2()3(2xfxf的x的取值范围为3.函数零点个数问题函数零点、方程的根与函数图象的交点密切相关，所以在解决函数零点个数问题，方程根的个数问题时，常使用数形结合思想。【例5】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________.【例6】已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0，2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围.【小结】数形结合在函数中的应用，主要体现在函数图象的应用中（1）二次函数求给定区间上的最值问题①轴动区间定②轴定区间动（2）函数性质（奇偶性、单调性、周期性）的综合应用①求范围②解不等式（3）函数零点个数、方程根的个数转化为图象交点个数问题【跟踪训练1】函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A.0B.1C.2D.3解析由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞).在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x＞0)，y2＝lnx(x＞0)的图象，如图所示：由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.答案C【跟踪训练2】若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________.【数形结合思想在高中数学中的应用第页共4页】3解析在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示.由图象知当a0时，方程|x|＝a－x只有一个解.答案(0，＋∞)【跟踪训练3】已知函数0,130,)(xxxaexfx(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A.(－∞，－1)B.(－∞，0)C.(－1，0)D.[－1，0)解析当x0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝13.因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a0.答案D【跟踪训练4】(2016·山东卷)已知函数mxmmxxmxxxf,42|,|)(2，其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.解析在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象.当xm时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2m，即m2－3m0.又m0，解得m3.答案(3，＋∞)四、作函数图象的常用方法数形结合的关键在于准确作出函数的图象，那么如何作函数图象就是最关键的步骤，同学们一定要掌握。下面介绍两种高中数学中最常用的方法。1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换①y＝f(x+a)（a0）的图象把y＝f(x)的图象向左平移a个单位即可；②y＝f(x-a)（a0）的图象把y＝f(x)的图象向右平移a个单位即可；【数形结合思想在高中数学中的应用第页共4页】4③y＝f(x)+b（b0）的图象把y＝f(x)的图象向上平移b个单位即可；④y＝f(x)-b（b0）的图象把y＝f(x)的图象向下平移b个单位即可；即我们通常所说的左加右减，上加下减。【练习1】作出下列函数的图象（1）21xy（2）2)1(xy（3）12xy(2)对称变换①y＝－f(x)的图象把y＝f(x)的图象关于x轴对称即可；②y＝f(－x)的图象把y＝f(x)的图象关于y轴对称即可；③y＝－f(－x)的图象把y＝f(x)的图象关于原点对称即可；【练习2】作出下列函数的图象（1）xy2（2）)ln(xy（3）xey(3)伸缩变换①y＝f(ax)（a0）的图象把y＝f(x)的图象纵坐标不变，各点的横坐标变为原来的a1倍即可；相当于以y轴为中心，把图象往左右伸长或压缩；a1时伸长，a1时压缩.②y＝Af(x)（A0）的图象把y＝f(x)的图象横坐标不变，各点的纵坐标变为原来的A倍即可；相当于以x轴为中心，把图象上下伸长或压缩；A1时伸长，A1时压缩.(4)翻转变换①y＝|f(x)|的图象，把y＝f(x)的图象位于x轴下方的部分翻到x轴上方即可；函数值为负数的变为其相反数，函数值为正数的不变，图象全部在x轴上方。②y＝f(|x|)的图象，把y＝f(x)的图象位于y轴左边的部分去掉，然后把右边的对称到左边即可.自变量为负数时，与其相反数对应的函数值一样，所以是偶函数。【练习3】作出下列函数的图象（1）|ln|xy（2）||lnxy【练习4】作出下列函数的图象（1）|)1ln(|xy（2）|1|lnxy