简单线性规划课件(张)

简单线性规划课件(张)[学习目标]1.了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值．3.训练数形结合、化归等数学思想，培养和发展数学应用意识．[知识提炼·梳理]1．约性约束条件：________________________________________．2．线性目标函数：______________________________________．3．线性规划问题：___________________________________________________．由关于x，y的一次不等式形成的约束条件由关于两个变量x，y一次式形成的函数在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题4．可行解：___________________________________．5．可行域：________________________________．6．最优解：___________________________________________________________．满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解由所有可行解组成的集合叫可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)可行域是一个封闭的区域．()(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的．()(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解．()(4)线性规划问题一定存在最优解．()解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．若x≥0，y≥0，x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为()A．－1B．1C．2D．－2解析：根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组x＋y＝1，y＝0，得顶点M的坐标为(1，0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.答案：B3．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为()A．－1B．1C.32D．2解析：如图：当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m，2m)在直线x＋y－3＝0上，则m＝1.答案：B4.已知实数x，y满足y≤1，x≤1，x＋y≥1，则z＝x2＋y2的最小值为________．解析：实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin＝122＝12.答案：125．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．解析：如图所示，阴影部分为封闭区域，作直线2x－y＝0，并向左上平移，过点A时，2x－y最小，由y＝2，y＝|x－1|（x＜1），得A(－1，2)．所以(2x－y)min＝2×(－1)－2＝－4.答案：－4类型1求线性目标函数的最值[典例1]已知实数x，y满足不等式组：2x－y＋2≥0，2x＋3y－6≤0.(1)求w＝x＋2y的最大值；(2)求z＝x－y的最小值．解：作出不等式组表示的平面区域(即可行线)．(1)将w＝x＋2y变形为y＝－12x＋w2，得到斜率为－12，在y轴上截距为w2的一簇随w变化的平行直线，作过原点的直线y＝－12x.由图1可知，当平移此直线过点(0，2)时，直线在y轴上的截距w2最大，最大值为2，所以w＝x＋2y的最大值为4.也可把(0，2)代入求得wmax＝0＋2×2＝4.(2)将z＝x－y变形为y＝x－z，得到斜率为1，在y轴上截距为－z的一簇随z变化的平行直线，作过原点的直线y＝x，由图2可知，当平移此直线过点(0，2)时，直线在y轴上的截距－z最大，最大值为2.所以z最小，最小值为－2.所以z＝x－y的最小值为－2.也可把(0，2)代入求得zmin＝0－2＝－2.归纳升华解线性规划问题的基本步骤：(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(3)求：通过解方程组求出最优解．(4)答：根据所求得的最优解得出答案．[变式训练]已知实数x，y满足约束条件x－y≤1，2x＋y≤4，x≥1，求目标函数z＝x＋3y的最大值．解：由约束条件作出可行域如图阴影部分所示：由z＝x＋3y，得y＝－13x＋z3，平移直线x＋3y＝0可知，当直线y＝－13x＋z3经过A点时z取最大值．由2x＋y＝4，x＝1，得A(1，2)，所以zmax＝1＋2×3＝7.类型2求非线性目标函数的最值[典例2]设实数x，y满足约束条件x－y－2≤0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0，求：(1)x2＋y2的最小值；(2)yx的最大值．解：如图，画出不等式组表示的平面区域ABC.(1)令u＝x2＋y2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点的距离的平方．过原点向直线x＋2y－4＝0作垂线y＝2x，则垂足为x＋2y－4＝0，y＝2x的解，即45，85，又由x＋2y－4＝0，2y－3＝0，得C1，32，所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝1＋322＝132，所以，x2＋y2的最小值为134.(2)令v＝yx，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点相连的直线l的斜率，即v＝y－0x－0.由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，v最大，由(1)知C1，32，所以vmax＝32，所以yx的最大值为32.归纳升华非线性目标函数最值问题的求解方法(1)解非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有：①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；（x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．②yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率；y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率，这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．[变式训练](1)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．－13D．－12(2)已知2x＋y－5≥0，3x－y－5≤0，x－2y＋5≥0，求(x＋1)2＋(y＋1)2的最大、最小值．(1)解析：如图所示，2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0，所表示的平面区域为图中的阴影部分．由x＋2y－1＝0，3x＋y－8＝0，得A(3，－1)当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM＝－13.答案：C(2)解：作出可行域，如图所示，设d＝(x＋1)2＋(y＋1)2，则它表示可行域内的点与定点E(－1，－1)的距离的平方．由图可知，点C到定点E的距离最小，点B到定点E的距离最大．由x－2y＋5＝0，3x－y－5＝0，解得B(3，4)，由2x＋y－5＝0，3x－y－5＝0，解得C(2，1)，所以当x＝3，y＝4时，dmax＝(3＋1)2＋(4＋1)2＝41，当x＝2，y＝1时，dmin＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13，即(x＋1)2＋(y＋1)2的最大值为41，最小值为13.类型3已知目标函数的最值求参数问题[典例3]设m＞1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．解析：作出可行域．把目标函数化为y＝－15x＋z5，显然只有y＝－15x＋z5在y轴上的截距最大时z值最大，根据图形，目标函数在点A处取得最大值，由y＝mx，x＋y＝1，得A11＋m，m1＋m，代入目标函数，即11＋m＋5m1＋m＝4，解得m＝3.答案：3归纳升华根据目标函数的最值求参数的解题思路：采用数形结合，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标函数等于最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解，再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出参数的值或范围．[变式训练](1)已知a＞0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥a（x－3）.若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.14B.12C．1D．2(2)已知变量x，y满足约束条件0≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3，1)处取得最大值，求a的取值范围．解析：(1)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分所示)．易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，由x＝1，y＝a（x－3），得x＝1，y＝－2a，所以zmin＝2－2a＝1，解得a＝12，故选B.答案：B(2)解：由约束条件画出可行域，如图所示，点C的坐标为(3，1)．因为目标函数仅在点C(3，1)处取得最大值，所以－a＜kCD，即－a＜－1，所以a＞1.解简单线性规划问题的基本步骤：1．画图．画出线性约束条件所表示的平面区域，即可行域．2．定线．令z＝0，得一过原点的直线．3．平移．在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．4．求最优解．通过解方程组求出最优解．5．求最值．求出线性目标函数的最小值或最大值．