3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？新课引入设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元.则x+y≤25000000①由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30000元以上，所以（12%）x+（10%）y≥30000②即12x+10y≥3000000显然用于企业贷款和个人贷款的资金额都不能是负值，于是x≥0，y≥0③含有两个未知数，并且未知数的次数是1次的不等式称为二元一次不等式将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：003000000101225000000yxyxyx我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.1)在直线x-y=6上的点；2)在直线x-y=6左上方的区域内的点；3)在直线x-y=6右下方的区域内的点.Oxy66x-y=6在平面直角坐标系中，x-y=6表示一条直线，平面内的所有的点被直线x-y=6分成三类：我们不妨先研究一个具体的二元一次不等式x-y6的解集所表示的图形.二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域，为表示区域不包括边界，我们把直线画成虚线；平面区域的一般结论：二元一次不等式ax+by+c≥0在平面直角坐标系中表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.66x-y-60Oxyx-y-6≥0如何判断二元一次不等式表示哪个平面区域？直线定界，特殊点（原点）定域直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线的哪一侧区域，C≠0时，常把原点作为测试点；当C=0时，常取（1，0）或（0,1）作为测试点题型一二元一次不等式表示的平面区域例1画出不等式x+4y4表示的平面区域.Oxy解：先作出边界直线x+4y=4,并画成虚线.取原点（0，0）代入x+4y-4，因为0+40-4=-40所以原点（0，0）在x+4y-40表示的平面区域内，不等式x+4y4表示的区域如图所示（在直线x+4y=4的左下方）x+4y-4=041x+4y4变式训练画出不等式2x+y-4≤0表示的平面区域.Oxy242x+y-4=0解：先画出直线2x+y-4=0，根据题意画成实线取原点（0，0）代入2x+y-4得20+0-4=-40，所以原点在不等式2x+y-4≤0所表示的区域内.题型二二元一次不等式组表示的平面区域例2画出不等式组表示的平面区域.3005xyxyxOxy35x-y+5=0x+y=0x=3二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.0xy3x+y-12=0x-2y=0y-3x+12x2y的解集。例2、用平面区域表示不等式组P86页：1、不等式x–2y+60表示的区域在直线x–2y+6=0的（）（A）右上方（B）右下方（C）左上方（D）左下方2、不等式3x+2y–6≤0表示的平面区域是（）DBB3603.20不等式组表示的平面区域是（）xyxy例3.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示：规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，用数学关系式和图形表示上述要求.解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截这两种钢板z张，00273182152yxyxyxyxxyo157.592718X+3y=27X+2y=182X+y=15M如图所示的阴影部分表示上面限制条件的平面区域例4.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.肥料类型原料类型甲种（单位t）乙种（单位t）库存（单位t）磷酸盐4110硝酸盐181566解：设x，y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足一下条件00661518104yxyxyxxyo18x+15y=664x+y=10M5411023（2009·安徽）不等式组所表示的平面区域的面积等于（）A.B.C.D.43,43,0yxyxx23323443由得交点A的坐标为（1，1）.又B、C两点的坐标为（0，4），,4343yxyx.341)344(21ABCS故解：C2．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜－7或a＞24B．－7＜a＜24C．a＝－7或a＝24D．以上都不对B解析：点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)＜0，解之得－7＜a＜24.小结1.二元一次不等式及其解集的几何意义2.二元一次不等式表示的平面区域及其判定3.简单的应用.3.3.2简单的线性规划问题1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解等基本概念；2.了解线性规划问题的图解法，并能解决一些简单的问题.(重点、难点）某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：2841641200.xyxyxy，，，，进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？分析：设工厂获得的利润为z，则z=2x+3y上述问题转化为当x,y满足条件0,012416482yxyxyx并且为非负整数时，z的最大值是多少？2z2z23,333z3xyyxy把变形为,这是斜率为在轴上的截距为的直线,.z当变化时，可以得到一组互相平行的直线002:.3lyxl故可先作出过原点的直线，再作的平行线zz3P当点在可允许的取值范围内变化时，求截距的最值,即可得的最值.02:3lyxOx434828xy4x=3y(4,2)M2z33428yxxxy由图可知当直线经过直线与直线即的最大值为z243214.z所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.z3最大值为14.3的交点(4,2)M时，截距的值最大，y阅读课本88页在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．线性规划的相关概念简单线性规划问题的图解方法例1设z＝2x＋y，式中变量x、y满足下列条件：求z的最大值和最小值.分析：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.42246yxOCAB0:20lxy解：作出如图所示的可行域，作0:20lxy0//.ll及当直线经过点B时，对应最小当直线经过点A时，对应的最大.lzlz例5.营养学家指出，成人良好的日常饮食至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？分析：将已知数据列成下表食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么0006.007.014.006.014.007.0075.0105.0105.0yxyxyxyx目标函数为z=28x+21y0067146147577yxyxyxyx7x+7y=514x+7y=6当z变化时，可以得到一组互相平行的直线.考虑z=28x+21y可变形为2134zxy可以看成x、y的直线方程，斜率为，在y轴上的截距为，当最小时，z也最小.3421z21z0xy7x+14y=6M7376757376747572717271平移直线可以容易得到最小截距，此时直线经过可行域的点M.21z答：每天使用食物A约143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元6714577yxyx解方程组得点M的坐标（）74,71所以z的最小值为zmin=28x+21y=16.解线性规划问题的步骤：（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案.（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；最优解一般在可行域的顶点处取得．例7.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料.若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设x，y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，利润z万元.目标函数为z=x+0.5y,于是满足一下条件00661518104yxyxyx在直角坐标系中可表示成图中的平面区域.xyo18x+15y=664x+y=10M5411023xyo18x+15y=664x+y=10M5411023把z=x+0.5y变形为y=-2x+2z得到斜率为-2，在y轴上的截距为2z，且随z变化的一族平行直线.当直线y=-2x+2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大.答：生产甲种、乙种肥料各两车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元.104661518yxyx解方程组得点M的坐标x=2，y=2所以z的最大值为zmax=x+0.5y=3.2.线性目标函数的最值的图解法及其步骤.最优解在可行域的顶点或边界取得.把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚.1.线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解等基本概念；第2课时简单线性规划的应用1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决一些简单的实际问题；(重点）2.利用线性规划解决具有限制条件的不等式；3.培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提高学生数学建模和解决实际问题的能力.例6.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示：规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块.问各截得这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格产品，且使所用钢板张数最少？解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张，目标函数为z=x+y,则00273182152yxy