垂径定理优秀课件

§24.1.2垂直于弦的直径EDCOABOBAE赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？•圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.●O③AM=BM,•AB是⊙O的一条弦.你能发现图中有哪些相等的线段和弧？作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.下图还是轴对称图形吗?发现图中有:由①CD是直径②CD⊥AB可推得·OMCDAB⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.•如图理由是:连接OA,OB,则OA=OB.∵OA=OB，OM⊥AB，∴AM=BM.∴点A和点B关于直径CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.③AM=BM,由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.·OACDMB•垂直于弦的直径，●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.平分弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理●OABCDM└(3)平分弦(1)过圆心(4)平分弦所对的一条弧(2)垂直于弦(5)平分弦所对的另一条弧EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是不是是不是OEDCAB直径垂直弦,才能平分弦,平分弦所对的弧.EDCOAB适用垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BDEOBDAOBDAEOBAE(3)(2)垂直于弦(1)过圆心(4)平分弦所对的一条弧平分弦(5)平分弦所对的另一条弧不是直径推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。BAOCDEACBDO(CDAEBEAB是直径CDAB不是直径)例题1.如图,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.注意书写格式OABE222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：⊙O的半径为5cm.118422AEAB在Rt△AOE中解：作OE⊥AB于E点，连接OA.变1.在⊙O中,直径为10cm,弦AB的长为8cm,则圆心O到AB的距离.变2.在⊙O中,直径为10cm,圆心O到AB的距离为3cm,则弦AB的长为.圆的半径为R,弦长为a,弦心距为d,则R、a、d满足关系式＿＿＿＿＿＿＿＿＿求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.2221()2adR3cm8cm∵ABOE37.4m7.2mABOCD137.4,7.2,18.7,27.2ABCDADABODOCCDr222222,,,18.7(7.2),RtOADOAADODrr在中由勾股定理得即27.9()rm解得答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.如图用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为r.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C,根据前面的结论，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.在图中,赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？解决问题•1．已知：如图，弦AB是⊙O中一条非直径弦，D为弦AB的中点，连接OD，AB=6cm，OD=４cm.求⊙O的半径.DOBA解：连接OA∵D为弦AB的中点∴OD⊥AB,AD=AB=3cm在Rt△AOD中,AO2=OD2+AD2设⊙O的半径为r,则r2=４2+32得r=5答：⊙O的半径OA为5cm.212．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E.求证:四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC∴四边形ADOE为矩形又∵AC=AB∴AE=AD∴矩形ADOE为正方形.90ODAEADOEA　ABOD,ACOE　　ABAD,ACAE2121　　3．已知⊙O的直径是５０cm，⊙O的两条平行弦AB=４０cm，CD=４８cm，求弦AB与CD之间的距离。.AEBOCD20152525247.AEBOCDFFAB、ＣＤ在点O两侧ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２AB、ＣＤ在点O同侧ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。