3数列十年高考题(带详细解析)

第三章数列●考点阐释数列是高中代数的重点之一，也是高考的考查重点，在近十年高考试题中有较大的比重.这些试题不仅考查数列，等差数列和等比数列，数列极限的基础知识、基本技能、基本思想和方法，以及数学归纳法这一基本方法，而且可以有效地测试逻辑推理能力、运算能力，以及运用有关的知识和方法，分析问题和解决问题的能力.重点掌握的是等差、等比数列知识的综合运用能力.●试题类编一、选择题1.（2003京春文，6）在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3等于（）A.4B.5C.6D.72.（2002上海春，16）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误．．的是（）A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为Sn的最大值3.（2002京皖春，11）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项4.（2001京皖蒙春，12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn=90n（21n－n2－5）（n=1，2，……，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（）A.5月、6月B.6月、7月C．7月、8月D.8月、9月5.（2001全国理，3）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A.1B.2C.4D.66.（2001上海春，16）若数列{an}前8项的值各异，且an+8=an对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为（）A.{a2k+1}B.{a3k+1}C.{a4k+1}D.{a6k+1}7.（2001天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列8.（2000京皖春，13）已知等差数列｛an｝满足a1+a2+a3+…＋a101＝0，则有（）A.a1＋a101＞0B.a2＋a100＜0C.a3＋a99＝0D.a51＝519.（1998全国文，15）等比数列{an}的公比为－21，前n项和Sn满足11limaSnn，那么a1的值为（）A.±3B.±23C.±2D.±2610.（1998全国理，15）在等比数列｛an｝中，a1＞1，且前n项和Sn满足11limaSnn，那么a1的取值范围是（）A.（1，＋∞）B.（1，4）C.（1，2）D．（1，2）11.（1997上海文，6）设f（n）=1+1313121n（n∈N），那么f（n+1）－f（n）等于（）A.231nB.13131nnC.231131nnD.23113131nnn12.（1997上海理，6）设f（n）=nnnn21312111（n∈N），那么f（n+1）－f（n）等于（）A.121nB.221nC.221121nnD.221121nn13.（1996全国理，10）等比数列｛an｝的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若3231510SS，则nlimSn等于（）A.32B.－32C.2D.－214.（1994全国理，12）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.26015.（1995全国，12）等差数列｛an｝，｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn，若132nnTSnn，则nnnbalim等于（）A.1B.36C.32D.94※16.（1994全国理，15）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂二个）经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（）A.511个B.512个C.1023个D.1024个17.（1994上海，20）某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立二、填空题※18.（2003京春理14，文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内.19.（2003上海春，12）设f（x）=221x.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为_____.20.（2002北京，14）等差数列｛an｝中，a1＝2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于．21.（2002上海，5）在二项式（1＋3x）n和（2x＋5）n的展开式中，各项系数之和分别记为an、bn（n是正整数），则nnnnnbaba432lim=．22.（2001全国，15）设｛an｝是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若｛Sn｝是等差数列，则q=_____.23.（2001上海文，2）设数列｛an｝的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2（n∈N），则a1＋a2＋…＋a17＝.24.（2001上海，6）设数列｛an｝是公比q＞0的等比数列，Sn是它的前n项和，若nlimSn＝7，则此数列的首项a1的取值范围是.25.（2001上海理，2）设数列｛an｝的通项为an＝2n－7（n∈N*），则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝．※26.（2001上海春，7）计算nnnn)13(lim=_____.27.（2000上海春，7）若数列｛an｝的通项为)1(1nn（n∈N*），则nlim（a1+n2an）＝．28.（2000全国，15）设｛an｝是首项为1的正项数列，且（n+1）an＋12－nan2+an＋1an＝0（n＝1，2，3，…），则它的通项公式是an＝．29.（2000上海，12）在等差数列｛an｝中，若a10＝0，则有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈N)成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9＝1，则有等式成立.※30.（2000上海，4）计算nnnn)2(lim=_____.31.（1999上海，10）在等差数列{an}中，满足3a4=7a7，且a10，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n=_____.32.（1998上海文、理，10）在数列｛an｝和｛bn｝中，a1=2，且对任意自然数n，3an+1－an=0，bn是an与an+1的等差中项，则｛bn｝的各项和是_____.33.（1997上海）设0ab，则nnnnbab4lim=_____.※34.（1997上海）nnn2)21(lim=_____.35.（1995上海）若nlim［1+（r+1）n］=1，则r的取值范围是_____.※36.（1995上海）nlim（1+n1）n－2=_____.37.（1995上海，12）已知log3x=3log12，那么x+x2+x3+…+xn+…=_____.※38.（1995上海理，11）1992年底世界人口达54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y（亿），那么y与x的函数关系式是_____.三、解答题39.（2003京春，21）如图3—1，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为an（n∈N*）.（Ⅰ）证明{an}是等比数列；（Ⅱ）求nlim（a1+a2+…+an）的值.※40.（2003上海春，22）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某图3—1人年初被A、B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到1元）并说明理由.※41.（2002上海春，21）某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工.奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小.由1至n排序，第1位职工得奖金ab元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金.（Ⅰ）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak；（不必证明）（Ⅱ）证明ak＞ak＋1（k＝1，2，…，n－1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；（Ⅲ）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）．对常数b，当n变化时，求nlimPn（b）．42.（2002北京春，21）已知点的序列An（xn，0），n∈N，其中，x1＝0，x2＝a（a＞0），A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，……（Ⅰ）写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式（n≥3）；（Ⅱ）设an＝xn＋1－xn计算a1，a2，a3，由此推测数列｛an｝的通项公式，并加以证明；（Ⅲ）（理）求nlimxn．※43.（2002全国文，18）甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动.甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．（Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇?（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇?※44.（2002全国理，20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?45.（2002全国理，21）设数列｛an｝满足an＋1＝an2－nan＋1，n＝1，2，3，…，（Ⅰ）当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；（Ⅱ）当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有（ⅰ）an≥n＋2；（ⅱ）2111111121naaa．46.（2002北京，19）数列｛xn｝由下列条件确定：x1＝a＞0，xn＋1＝21（xn＋nxa），n∈N*．（Ⅰ）证明：对n≥2，总有xn≥a；（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xn≥xn＋1；（Ⅲ）（理）若数列｛xn｝的极限存在，且大于零，求nlimxn的值.47.（2002江苏，18）设｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，a1＝b1＝1，a2＋a4＝b3，b2b4＝a3．分别求出｛an｝及｛bn｝的前10项的和S10及T10．48.（2002上海，21）已知函数f（x）＝abx的图象过点A（4，41）和B（5，1）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）记an＝log2f（n），n是正整数，Sn是数列｛an｝的前n项和，解关于n的不等式anSn≤0；（Ⅲ）（文）对于（Ⅱ）中的an与Sn，整数96是否为数列｛anSn｝中的项?若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.※49.（2002北京，20）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n个不同的数v1，v2，…，vn的和niiv1＝v1＋v2＋v3＋…＋vn．计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数.计算开始后