论述微积分发展简史

论述微积分发展简史1一、微积分的萌芽微积分的思想萌芽可以追溯到古代，早在希腊时期，人类已经开始讨论无穷、极限以及无穷分割等概念。这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论証和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。公元前五世纪，希腊的德谟克利特提出原子论：他认為宇宙万物是由极细的原子构成。在中国，《庄子．天下篇》中所言的一尺之捶，日取其半，万世不竭，亦指零是无穷小量。这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。二、微积分的创立微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微积分的互逆关系。最后一个阶段是由牛顿、莱布尼茨完成的。前两个阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追溯到希腊的阿基米德都做出了各自的贡献。中世纪时期，欧洲科学发展停滞不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有甚麼突破。中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，微积分的观念也於此时趋於成熟。在积分方面，一六一五年，开普勒把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积。而伽利略的学生卡瓦列里即认为一条线由无穷多个点构成；一个面由无穷多条线构成；一个立体由无穷多个面构成。这些想法都是积分法的前驱。在微分方面，十七世纪人类也有很大的突破。费马在一封给罗贝瓦的信中，提及计算函数的极大值和极小值的步骤，而这实际上已相当於现代微分学中所用，设函数导数為零，然后求出函数极点的方法。另外，巴罗亦已经懂得透过「微分三角形」（相当於以dx、dy、ds為边的三角形）求出切线的方程，这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的。由此可见，人类在十七世纪已经掌握了微分的要领。英国著名数学家、物理学家牛顿从研究物理问题出发创立了微积分(1665—1666)，牛顿称之为“流数术理论”．牛顿的“流数术”中，有三个重要的概念：流动量、流动率、瞬．牛顿的流数术以力学中的点的连续运动为原型，把随时问连续变化的量而产生的一个连续变化的变量，即以时间为独立变数的函数(生长中的量)称为流动量，流动率是流动量的变化速度，即变化率(生长率)，称为导数牛顿专论微积分的著作有两部，第一部正式的、系统的论述流数术的重要著作是《流数术和无穷级数》，于1671年写成，在1736年才正式出版．另一部著作是《曲线求积论》，于1676—1691年写成，在1704年出版．德国数学家莱布尼兹从儿何角度出发独立地创立了微积分(1675—1676)．莱布尼兹当时把微积分称为“无穷小算法”．他的微积分符号的使用最初体现在1675年的手稿中．1684年他在《教师学报》杂志上发表了微分法的论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法，它也适用于无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．这是历史上最早发表的关于微积分的文章．1686年他在该杂志上又发表了最早的积分法的论文《潜在的几何与不可分量和无限的分析》。在数学史上，关于微积分创立的优先权问题发生了一场激烈的争论，英国皇家学会为此成立了专门的评判委员会．经过长时间的调查，裁定牛顿与莱布尼兹分别独立地创立了微积分．三、微积分的发展微积分的创立，被誉为‘人类精神的最高胜利’。在18世纪，微积分深入和发展，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了‘分析’这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。英国数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流术数，他们中的优秀代表有泰勒、麦克劳林、等等。泰勒在1715年出版的《正的和反的增量方法》一书中，陈述了他早在1712年就已获得的著名定理，即是现代形式的泰勒公式。泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。但泰勒对该定理的的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性，后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，即是现在的‘麦克劳林级数’。麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态。而在英吉利海峡的另一边，新分析却在莱布尼茨的后继者们的推动下蓬勃的发展起来。推广莱布尼茨学说的任务，从17世纪到18世纪的过渡期，主要是由雅各布·伯努利和约翰·伯努利担当。他们的工作，构成了现今所谓初等微积分的大部分内容。18世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的。欧拉在1748年出版的，《无限小分析引论》以及他随后发表的《微分学》和《积分学》是微积分史上里程碑式的著作，它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。18世纪这些数学家虽然不像牛顿、莱布尼茨那样创立了微积分，但他们在微积分发展史上同样功不可没。我们不能逐一介绍他们的工作，一下概述这一时期微积分深入发展的几个主要方面：（1）积分技术与椭圆积分（2）微积分向多元函数的推广（3）无穷级数理论（4）函数概念的深化（5）微积分严格化的尝试四、微积分的严格化由于微积分的迅猛发展，人们将微积分应用到自然科学的各个方面，建立了不少一微积分为主的分支学科，如常微分方程、偏微分方程、变分法等等形成了数学的三大分支之一的‘分析’。但是微积分的基础是不牢固的，尤其在适用无穷小概念上的随意与混乱，引起了人们对他们理论的怀疑与批评。经过达朗贝尔、欧拉、拉格朗日等人的努力，微积分严格化到19世纪终于见到效果。捷克数学家波尔察诺在1817年的著作中给出了包括函数连续性、倒数等概念的合理定义。他还用集合方法第一个给出了连续函数处处不可微的例子，但是其工作长期不为人所注意。直到法国大数学家柯西，他的三大著作《工科大学分析教程》，1821；《无穷小计算教程概论》，1823；《微积分讲义》，1929。通过这些著作，赋予微积分以今天教科书中的模型，他给出了‘变量’、‘函数’的正确定义，且突破了函数必须有解析式的要求，给出了‘极限’的合适定义。柯西正确地表述并严格地证明了微积分基本定理、中值定理等微积分中的一系列重要定理。柯西的工作是微积分是微积分走向严格化的关键一步。1861年维尔特拉斯用式子具体写出一个连续函数却处处不可微的例子，并建立了微分体系引入了‘一致收敛’的概念，消除了微积分中以前出现的错误与混乱。