求解热传导方程的Crank-Nicolson方法

Crank－Nicolson266061Crank－NicolsonOτ2+h2．1214．Crank－NicolsonO175．26A1004－7077201205－0004－050、Crank－Nicolsonr≤12rCrank－Nicolson．．2H=mh3Saul＇yevr≤1．Crank－Nicolson．1Crank－Nicolsonut=2ux20＜x＜l0＜t≤Tux0=φx0≤x≤lu0t=1tu1t=2t0＜t≤{T11h=lJτ=TNJ、Nx=xj=jhj=12…JJh=lt=tn=nτn=12…NNτ=T．0≤x≤l0≤t≤{}TxjtnUnj=uxjtnunj1xjtnr=τh2．·4·201210Oct．2012295JOURNALOFZAOZHUANGUNIVERSITYVol．29NO．52012－05－011987－．1xjtn+12u{}xn+12j=un+1j－unjτ+Oτ222ux{}2n+12j=12h2δ2xun+1j+unj+Oτ2+h2=12un+1j+1－2un+1j+un+1j－1h2+unj+1－2unj+unj－1h232、3141－12rδ2xun+1j=1+12rδ2xunj44Crank－NicolsonOτ2+h241+run+1j－12run+1j+1+un+1j－1=1－runj+12runj+1+unj－152Crank－NicolsonCrank－NicolsonAnUn+1=BnUn+enn=01…N－1U0={φ6Ai=ABi=BCi=A－1B=C6AUn+1=BUn+enn=01…N－1U0={φ7KCn≤K0≤n≤Tkλ1λ2…λM－1CρCλiC17kc0C=A－1BρC≤1+c0k8n＞0ρnC=ρCn≤Cn7ρnC≤K0＜n≤Tk989．8ρnC≤1+c0kn≤1+c0kTk≤ec0T=K9T－kk≤n≤TkρC≤KkT－k=ekT－klnK=1+klnKT－k+k22lnKT－k2+…＜1+c0kc0=lnKT－k0ek0T－k0lnK0＜k＜k0．2AA2=ρA．347C=A－1BCC*=C*C87．CCnCk2=ρCn=ρnC9·5·Crank－NicolsonCn≤K0≤n≤Tk8987．1Crank－Nicolson1+rUn+1j－12rUn+1j+1+Un+1j－1=1－rUnj+12rUnj+1+Unj－1n=01LN－1N=Tkj=12LJ－1Jh=1U0j=φjhj=01LJUn0=1nkUnM=2nkn=01LN101+r－12r－12r1+r－12r－12r1+r－12rOOO－12r1+r－12r－12r1+rUn+11Un+12Un+13MUn+1J－2Un+1J－1=1－r12r12r1－r12r12r1－r12rOOO12r1－r12r12r1－rUn1Un2Un3MUnJ－2UnJ－1+11r2Un+10+r2Un000M0r2Un+1J+r2UnJn=01LN－1U01U02U03MU0J－2U0J－1=φhφ2hφ3hMφJ－2hφJ－1h·6·20125TJ－1=－211－211－21OOO1－211－212M－1λj=－4sin2jπ2Jj=12LJ－1102I－rTJ－1Un+1=2I+rTJ－1Un=enU0={φ13C=2I－rTJ－1－12I+rTJ－1C2－4rsin2jπ2J2+4rsin2jπ2Jj=1LJ－1jr=kh21C3Crank－Nicolson．3Crank－Nicolsonut－2ux2=00＜x＜10＜t≤1ux0=ex0≤x≤1u0t=etu1t=e1+t0＜t≤1uxt=ex+t1h=110τ=110．2h=1100τ=1100．．12．1、h=110τ=110Table1Thenumericalsolutions、theexactsolutionsandtheabsolutevalueoftheerrorinsomenodesnxt|－|10．50．11．8223491．8221192．305e－420．50．22．0141052．0137533．522e－430．50．32．2259532．2255414．124e－440．50．42．4600722．4596034．692e－450．50．52．7188022．7182825．204e－460．50．63．0047433．0041665．770e－470．50．73．3207553．3201176．379e－480．50．83．6700023．6692977．051e－490．50．94．0559794．0552007．795e－4100．51．04．4825504．4816898．612e－4·7·Crank－Nicolson2、h=1100τ=1100Table2Thenumericalsolutions、theexactsolutionsandtheabsolutevalueoftheerrorinsomenodesnxt|－|100．50．11．8221211．8221192．281e－6200．50．22．0137562．0137533．420e－6300．50．32．2255452．2255414．115e－6400．50．42．4596082．4596034．672e－6500．50．52．7182872．7182825．210e－6600．50．63．0041723．0041665．776e－6700．50．73．3201233．3201176．389e－6800．50．83．6693043．6692977．064e－6900．50．94．0552084．0552007．808e－61000．51．04．4816984．4816898．629e－63E∞hτ=max1≤j≤J－11≤n≤N|uxjtn－unj|31214．3Table3Themaximumerroratdifferentstep－lengthshτE∞hτE∞2h2τ/E∞hτ1/101/108．612e－4*1/201/202．174e－43．9611/401/405．436e－53．9991/801/801．359e－54．0001/1601/1603．398e－63．9991/3201/3208．495e－74．0001/6401/6402．123e－74．0011．M．1995．2DawsonCNDuQiangDupontT．F．AfinitedifferencedomaindecompositionalgorithmfornumericalsolutionoftheheatequationJ．MathematicsofComputation19911955763－71．3．J．2005450－253．4．M2002．·8·20125