-基本逻辑关系和常用逻辑门

电子技术基础知识点—数字部分-9-T1101第2章基本逻辑关系和常用逻辑门电路通常，把反映“条件”和“结果”之间的关系称为逻辑关系。如果以电路的输入信号反映“条件”，以输出信号反映“结果”，此时电路输入、输出之间也就存在确定的逻辑关系。数字电路就是实现特定逻辑关系的电路，因此，又称为逻辑电路。逻辑电路的基本单元是逻辑门，它们反映了基本的逻辑关系。2.1基本逻辑关系和逻辑门2.1.1基本逻辑关系和逻辑门逻辑电路中用到的基本逻辑关系有与逻辑、或逻辑和非逻辑，相应的逻辑门为与门、或门及非门。一、与逻辑及与门与逻辑指的是：只有当决定某一事件的全部条件都具备之后，该事件才发生，否则就不发生的一种因果关系。如图T1101所示电路，只有当开关A与B全部闭合时，灯泡Y才亮；若开关A或B其中有一个不闭合，灯泡Ｙ就不亮。这种因果关系就是与逻辑关系，可表示为Y＝AB，读作“A与B”。在逻辑运算中，与逻辑称为逻辑乘。T1102第2章基本逻辑关系和常用逻辑门电路-10-与门是指能够实现与逻辑关系的门电路。与门具有两个或多个输入端，一个输出端。其逻辑符号如图T1102所示，为简便计，输入端只用A和B两个变量来表示。与门的输出和输入之间的逻辑关系用逻辑表达式表示为：Y＝AB＝AB两输入端与门的真值表如表B1104所示。波形图如图T1103所示。由此可见，与门的逻辑功能是，输入全部为高电平时，输出才是高电平，否则为低电平。二、或逻辑及或门或逻辑指的是：在决定某事件的诸条件中，只要有一个或一个以上的条件具备，该事件就会发生；当所有条件都不具备时，该事件才不发生的一种因果关系。如图T1104所示电路，只要开关A或B其中任一个闭合，灯泡Y就亮；A、B都不闭合，灯泡Y才不亮。这种因果关系就是或逻辑关系。可表示为：Y＝A＋B读作“A或B”。在逻辑运算中或逻辑称为逻辑加。ABY000010100111T1104T1105ABYT1103与门的波形图B1104与门真值表电子技术基础知识点—数字部分-11-或门是指能够实现或逻辑关系的门电路。或门具有两个或多个输入端，一个输出端。其逻辑符号如图T1105所示。或门的输出与输入之间的逻辑关系用逻辑表达式表示为：Y＝A＋B两输入端或门电路的真值表和波形图分别如表B1105和图T1106所示。表B1105ABY000011101111由此可见，或门的逻辑功能是，输入有一个或一个以上为高电平时，输出就是高电平；输入全为低电平时，输出才是低电平。三、非逻辑及非门非逻辑是指：决定某事件的唯一条件不满足时，该事件就发生；而条件满足时，该事件反而不发生的一种因果关系。如图T1107所示电路，当开关A闭合时，灯泡Y不亮；当开关A断开时，灯泡Y才亮。这种因果关系就是非逻辑关系。可表示为Y＝A，读作“A非”或“非A”。在逻辑代数中，非逻辑称为“求反”。非门是指能够实现非逻辑关系的门电路。它有一个输入端，一个输出端。其逻辑符号如图T1108所示。非门的输出与输入之间的逻辑关系用逻辑表达式表示为：第2章基本逻辑关系和常用逻辑门电路-12-Y＝A表B1106AY0110其真值表和波形图分别如表B1106和图T1109所示。由此可见，非门的逻辑功能为，输出状态与输入状态相反，通常又称作反相器。2.1.2复合逻辑门由与门、或门和非门可以组合成其他逻辑门。把与门、或门、非门组成的逻辑门叫复合门。常用的复合门有与非门、或非门、异或门、与或非门等。一、与非门将一个与门和一个非门按图T1110连接，就构成了一个与非门。与非门有多个输入端，一个输出端。三端输入与非门的逻辑符号如图T1112所示，它的逻辑表达式为：Y＝CBA＝ABC真值表和波形图分别如表B1107和图T1112所示。电子技术基础知识点—数字部分-13-表B1107ABCY00010011010101111001101111011110由此可知，与非门的逻辑功能为：当输入全为高电平时，输出为低电平；当输入有低电平时，输出为高电平。二、或非门把一个或门和一个非门连接起来就可以构成一个或非门，如图T1113所示。或非门也可有多个输入端和一个输出端。三端输入或非门的逻辑符号如图T1114所示，它的逻辑表达式为：Y=CBA真值表和波形图分别如表B1108和图T1115所示。由此可知，或非门的逻辑功能为：当输入全为低电平时，输出为高电平；当输入有高电平时，输出为低电平。表B1108第2章基本逻辑关系和常用逻辑门电路-14-三、异或门当两个输入变量的取值相同时，输出变量取值为0；当两个输入变量的取值相异时，输出变量取值为1。这种逻辑关系称为异或逻辑。能够实现异或逻辑关系的逻辑门叫异或门。异或门只有两个输入端和一个输出端，其逻辑符号如图T1116（a）所示。异或门的逻辑表达式为：Y＝A·B+A·B＝A⊕B式中，符号⊕表示异或逻辑。异或门真值表如表B1109所示。波形图如图T1116（b）所示。异或门的逻辑功能可简述为：输入相异，输出为高电平。输入相同，输出为低电平。表B1109异或门真值表ABYABCY00010010010001101000101011001110电子技术基础知识点—数字部分-15-000011101110四、与或非门把两个与门、一个或门和一个非门联结起来，就构成了与或非门。它有多个输入端、一个输出端，逻辑符号如图T1117所示。其逻辑表达式为：Y＝CDAB真值表如表B1110所示，波形图见图T1118。与或非门的逻辑功能是：当任一组与门输入端全为高电平或所有输入端全为高电平时，输出为低电平；当任一组与门输入端有低平或所有输入端全为低电平时，输出为高电平。第2章基本逻辑关系和常用逻辑门电路-16-表B1110与或非门真值表输入输出ABCDY000010001100101001100100101011011010111010001100111010110110110001101011100111102.2逻辑代数基础逻辑代数是讨论逻辑关系的一门学科，它是分析和设计逻辑电路的数学基础。逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔（George·Boole）创立的，故又称布尔代数。逻辑代数也是用字母表示变量，但是逻辑代数和普通代数有着根本的区别。逻辑代数中的逻辑变量只有两种可能取值——0和1，而且这里的0和1不同于普通代数中的0和1。它只表示两种对立的逻辑状态，并不表示数量的大小。2.2.1逻辑代数的基本定理与规则在逻辑运算中，基本的逻辑关系有与、或、非三种。在逻辑代数中，相应地也有三种基本运算，即与运算、或运算和非（求反）运算。电子技术基础知识点—数字部分-17-1.与运算（逻辑乘）图T1101所示与门电路的逻辑关系为Y＝AB，由此可得与运算的规则为：0·0＝00·1＝01·0＝01·1＝1A·0＝0A·1＝AA·A＝Ａ2.或运算（逻辑和）图T1104所示或门电路的逻辑关系为Y＝A＋B，由此可得或运算的规则为：0+0＝00+1＝11+0＝11+1＝1A+0＝AA+1＝1A+A＝A3.非运算（求反运算）图T1107所示非门电路的逻辑关系为Y＝A，由此可得非运算的规则为：0＝11＝0A+A＝1A·A＝０A＝A2.2.2逻辑代数的基本定律逻辑代数不但有与普通代数相似的交换律、结合律和分配律，其本身还有一些特殊定律。常用的定律如下：（1）交换律A·B＝B·AA＋B＝B＋A（2）结合律（A·B）·C＝A·（B·C）（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）（3）分配律A·（B＋C）＝Ａ·B＋Ａ·CA十BC＝（A+B）（A+C）（4）重迭律A·A＝AA＋Ａ＝A（5）0-1律0·Ａ＝00＋Ａ＝Ａ1·Ａ＝Ａ1＋Ａ＝1（6）互补律A·A＝0A＋A＝1（7）摩根定律BA＝A＋BBA＝A·B（8）吸收律A·（A＋B）＝AA＋AB＝Ａ2.2.3逻辑代数的基本规则在逻辑代数中，利用代入规则、对偶规则、反演规则可由基本定律推导出更多的公式。1.代入规则在任何一个逻辑等式中，如将等式两边所有出现某一变量的地方都用同一函数式替代，则等式仍然成立。这个规则就是代入规则。代入规则扩大了逻辑等式的应用范围。例如已知BA＝A＋B，如用B·C来代替等式中的Ｂ，则等式仍成立，故有：CBACBACBA第2章基本逻辑关系和常用逻辑门电路-18-2.对偶规则将某一逻辑表达式中的“·”换成“+”、“+”换成“·”；“0”换成“1”，“1”换成“0”，就得到一个新的表达式。这个新的表达式就是原表达式的对偶式。如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。这就是对偶规则。【例1114】已知A＋AB＝A＋B，求其对偶式。解：利用对偶规则，可得到A·（A＋B）＝AB。3.反演规则如将某一逻辑式中的“·”换成“+”、“+”换成“·”；“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，则所得到的逻辑表达式称为原式的反演式。这种变换方法称为反演规则。利用反演规则可以比较容易地求出一个函数的反函数。【例1115】求函数ｙ=A·B＋C·D＋0的反函数。解：利用反演规则可得：Y＝（Ａ＋B）·（C＋Ｄ）·１【例1116】证明加法对乘法的分配律：A＋BC＝（A+B）（A+C）证：（A+B）（A＋C）＝AA＋AC+AB+BC＝A＋AB＋AC＋BC（重迭律）＝A（1+B+C）+BC＝A＋BC（0-１律）【例1117】求证A＋AB＝A＋Ｂ证：A＋AB＝（A＋A）（Ａ＋B）（加法对乘法的分配律）＝1·（A＋Ｂ）（互补律）＝A＋B（0–１律）【例1118】己知Y＝A（B＋CD）＋BC，求Y解：Y＝CBDCBA)(＝CBDCBA)(＝（A＋DCB）（Ｂ＋C）＝(A＋DCB)（B+C）＝［A＋B(C＋D)］（B＋C）若运用反演规则，可直接求出：Y＝［A＋B(C＋D)］（B＋C）2.2.4几种逻辑函数表示法的转换如前所述，逻辑函数有多种表示法，它们之间可以相互转换。一、由逻辑表达式求真值表电子技术基础知识点—数字部分-19-按照逻辑表达式，对变量各种可能取值进行运算，求出对应的函数值，再把变量和函数值一一对应列成表格，即得到真值表。【例1119】已知Y＝AB+AB，列出其真值表函数有两个变量A、B，取值有2２＝4个组合，即：A＝0，B＝0；A＝0，B＝1；A＝1，B＝0；A=1，B=1。按逻辑表达式运算，分别得Y＝1；Y＝0；Y＝0；Y＝1。把它们对应排列起来，即得到如表B1111所示的真值表。表B1111表B1112表B1113表B1114ABYABYABY1Y2ABY1Y200100000110000010011011101001001011011101111111011001111二、由真值表写逻辑表达式将真值表中函数值等于1的变量组合选出来；对于每一个组合，凡取值为1的变量写成原变量，取值为0的变量写成反变量，各变量相乘后得到一个乘积项；最后，把各个组合对应的乘积项相加，就得到了相应的逻辑表达式。【例120】试根据表B1112，写出相应的逻辑表达式。从表中看到，当A＝0、B＝1时，Y＝1；当A＝1、B＝0时Y＝1。因此可写出相应的逻辑表达式为：Y＝AB＋AB真值表还可用来证明一些定理。【例121】试用真值表证明摩根定理BA=BA证：设上式左边＝Y1，右边＝Y2，分别列出相应的真值表如表B1113所示：比较Y1和Y2，证得BA=BA。【例1139】试用真值表证明A＋AB=A。证：令A＋AB＝Y1，A=Y2，列出真值表如B1114所示。比较Y1和Y2，证得A＋AB=A。2.2.5逻辑函数和逻辑图的转换一、由逻辑图求得逻辑函数通常有两种方法由逻辑图求得逻辑函数。一是根据逻辑图列出对应的真值表，再由真值表写第2章基本逻辑关系和常用逻辑门电路-20-出逻辑函数；二是由逻辑图逐级写出输出端的逻辑表达式。【例122】试求出图T1119的逻辑表达式。解法1：根据变量各种可能的取值，分别求出输出量Y1、Y2的值，列出对应的真值表如表B1115所示，进而可写出下列逻辑表达式：Y1=AB+AB，Y2＝AB解法2：根据逻辑图，由输入到输出逐级