高中数学导数典型例题精讲(详细版)

厚德启智心怀天下高中数学导数第1页共14页导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊的极限几个常用极限：（1）1lim0nn，lim0nna（||1a）；（2）00limxxxx，0011limxxxx.两个重要的极限：（1）0sinlim1xxx；（2）1lim1xxex(e=2.718281845…).函数极限的四则运算法则：若0lim()xxfxa，0lim()xxgxb，则(1)0limxxfxgxab；(2)0limxxfxgxab;(3)0lim0xxfxabgxb.数列极限的四则运算法则：若lim,limnnnnaabb，则(1)limnnnabab；(2)limnnnabab(3)lim0nnnaabbb(4)limlimlimnnnnncacaca(c是常数))(xf在0x处的导数（或变化率或微商）000000()()()limlimxxxxfxxfxyfxyxx..瞬时速度：00()()()limlimttssttststtt.瞬时加速度：00()()()limlimttvvttvtavttt.)(xf在),(ba的导数：()dydffxydxdx00()()limlimxxyfxxfxxx.函数)(xfy在点0x处的导数的几何意义函数)(xfy在点0x处的导数是曲线)(xfy在))(,(00xfxP处的切线的斜率)(0xf，相应的切线方程是))((000xxxfyy.几种常见函数的导数(1)0C（C为常数）.(2)'1()()nnxnxnQ.(3)xxcos)(sin.xxsin)(cos(4)xx1)(ln；eaxxalog1)(log.(5)xxee)(;aaaxxln)(.导数的运算法则（1）'''()uvuv.（2）'''()uvuvuv.（3）'''2()(0)uuvuvvvv.复合函数的求导法则设函数()ux在点x处有导数''()xux，函数)(ufy在点x处的对应点U处有导数''()uyfu，则复合函数(())yfx在点x处有导数，且'''xuxyyu，或写作'''(())()()xfxfux.【例题解析】考点1导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.例1．()fx是31()213fxxx的导函数，则(1)f的值是．[考查目的]本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.厚德启智心怀天下高中数学导数第2页共14页[解答过程]22()2,(1)123.fxxf故填3.例2.设函数()1xafxx,集合M={|()0}xfx,P='{|()0}xfx,若MP,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.[解答过程]由0,,1;,1.1xaxaaxx当a1时当a1时//2211,0.11111.xxaxaxaayyxxxxa综上可得MP时,1.a考点2曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.（2）关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.典型例题例3.已知函数3211()32fxxaxbx在区间[11)，，(13]，内各有一个极值点．（I）求24ab的最大值；（II）当248ab时，设函数()yfx在点(1(1))Af，处的切线为l，若l在点A处穿过函数()yfx的图象（即动点在点A附近沿曲线()yfx运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数()fx的表达式．思路启迪：用求导来求得切线斜率.解答过程：（I）因为函数3211()32fxxaxbx在区间[11)，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()fxxaxb0在[11)，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12xx，（12xx），则2214xxab，且2104xx≤．于是2044ab≤，20416ab≤，且当11x，23x，即2a，3b时等号成立．故24ab的最大值是16．（II）解法一：由(1)1fab知()fx在点(1(1))f，处的切线l的方程是(1)(1)(1)yffx，即21(1)32yabxa，因为切线l在点(1())Afx，处空过()yfx的图象，所以21()()[(1)]32gxfxabxa在1x两边附近的函数值异号，则1x不是()gx的极值点．而()gx321121(1)3232xaxbxabxa，且厚德启智心怀天下高中数学导数第3页共14页22()(1)1(1)(1)gxxaxbabxaxaxxa．若11a，则1x和1xa都是()gx的极值点．所以11a，即2a，又由248ab，得1b，故321()3fxxxx．解法二：同解法一得21()()[(1)]32gxfxabxa2133(1)[(1)(2)]322axxxa．因为切线l在点(1(1))Af，处穿过()yfx的图象，所以()gx在1x两边附近的函数值异号，于是存在12mm，（121mm）．当11mx时，()0gx，当21xm时，()0gx；或当11mx时，()0gx，当21xm时，()0gx．设233()1222aahxxx，则当11mx时，()0hx，当21xm时，()0hx；或当11mx时，()0hx，当21xm时，()0hx．由(1)0h知1x是()hx的一个极值点，则3(1)21102ah，所以2a，又由248ab，得1b，故321()3fxxxx．例4.若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（）A．430xyB．450xyC．430xyD．430xy[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]与直线480xy垂直的直线l为40xym，即4yx在某一点的导数为4，而34yx，所以4yx在(1，1)处导数为4，此点的切线为430xy.故选A.例5．过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+25=0相切的直线的方程为()A.y=-3x或y=31xB.y=-3x或y=-31xC.y=-3x或y=-31xD.y=3x或y=31x[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]解法1：设切线的方程为,0.ykxkxy又22521,2,1.2xy圆心为222151,3830.,3.231kkkkkk1,3.3yxyx或故选A.厚德启智心怀天下高中数学导数第4页共14页解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,2222由//22////113231(,)(,)22225(2)1,22(2)210,2.113,.313,.3xxxxxxxyxyyxyykykyyxyx故选A.例6.已知两抛物线axyCxxyC2221:,2:,a取何值时1C，2C有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.思路启迪：先对axyCxxyC2221:,2:求导数.解答过程：函数xxy22的导数为22'xy，曲线1C在点P(12112,xxx)处的切线方程为))(2(2)2(11121xxxxxy，即211)1(2xxxy①曲线1C在点Q),(222axx的切线方程是)(2)(222xxxaxy即axxxy2222②若直线l是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是l的方程，故得1,1222121xxxx，消去2x得方程，0122121axx若△=0)1(244a，即21a时，解得211x，此时点P、Q重合.∴当时21a，1C和2C有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14yx.考点3导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1..求函数的解析式;2.求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.典型例题例7．函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.[解答过程]由图象可见,在区间(,0)a内的图象上有一个极小值点.故选A.例8.设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围．思路启迪：利用函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值构造方程组求a、b的值．abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?O厚德启智心怀天下高中数学导数第5页共14页解答过程：（Ⅰ）2()663fxxaxb，因为函数()fx在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f．即6630241230abab，．解得3a，4b．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128fxxxxc，2()618126(1)(2)fxxxxx．当(01)x，时，()0fx；当(12)x，时，()0fx；当(23)x，时，()0fx．所以，当1x时，()fx取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc．则当03x，时，()fx的最大值为(3)98fc．因为对于任意的03x，，有2()fxc恒成立，所以298cc，解得1c或9c，因此c的取值范围为(1)(9)，，．例9.函数yxx243的值域是_____________.思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。解答过程：由24030xx得，x2，即函数的定义域为[,)2.yxxxxxx'12412323242243，又2324282324xxxxx，当x2时，y'0，函数yxx243在(,)2上是增函数，而f()21，yxx243的值域是[,)