误差传播定律

第五章测量误差的基本知识测量误差概述衡量精度的标准误差传播定律及其应用等精度观测值的算术平均值及精度评定§5-1测量误差概述误差的概念及来源–误差：对于某一个客观存在的量，尽管采用了比较精密的仪器和合理的观测方法，测量人员工作的态度也很认真负责，但多次测量的结果——观测值与观测值之间，或观测值与理论值（真值）之间总是存在差异，这种不可避免的差异叫做误差，。–仪器误差：由于仪器设计、制作不完善，或经检验校正还存在残余误差，给观测值带来的误差。–人为误差：由于人的感觉器官鉴别能力的限制，技术水平的高低和工作态度的好坏，给观测值带来的误差。–外界条件的影响：由于测量时外界自然条件如温度、湿度、风力等的变化，给观测值带来的误差。观测条件等精度观测与非等精度观测XLii误差的分类系统误差–在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果误差出现的符号和大小具有确定性的规律，这种误差称为系统误差。–系统误差具有累积性。可以在观测前采取有效的预防措施、观测时采用合理的方法，观测后对观测结果进行必要的计算改正，来尽量消除或减小系统误差的影响。偶然误差–在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果单个误差出现的符号和大小都表现出偶然性，但多次观测的误差总体上具有一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。–任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还包含粗差（错误）。–当观测值中的粗差被剔除，系统误差被消除或削弱到最小限度，可以认为观测值中仅含偶然误差，从而把观测值和偶然误差都当作随机变量，用概率统计的方法来研究。偶然误差的分布一定的观测条件，对应着一个确定的误差分布。偶然误差服从数学期望为0的正态分布，即。偶然误差的统计特性在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值超过一定限度的概率为0；绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等；当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。§5-2衡量精度的标准中误差：在测量工作中，用来反映误差分布的密集程度的量，其大小为该组观测值所对应的标准差的近似值。–由真误差计算中误差的公式容许误差：测量中规定的误差的限值，通常取中误差的三倍或两倍作为限差。相对误差：中误差与观测值的比值，并将分子化作1。nm][§5-3误差传播定律及其应用误差传播定律–解决如何根据观测值的中误差，求得观测值函数的中误差。–线性函数的误差传播定律–非线性函数的误差传播定律误差传播定律在测量上应用举例–水准测量的精度–距离测量的精度–水平角测量的精度–根据实际要求确定观测精度和观测方法误差传播定律（线性函数）设t个独立观测值的线性函数则有假若对该组观测值进行n次观测，有将上列n个式子平方后求和，得其中有误差传播定律（线性函数）两种特殊情况（1）设Z是一组同精度独立观测值的代数和，该组观测值的中误差均为m，即则（2）对某量同精度观测n次，算术平均值为设一次观测的中误差为m,则误差传播定律（非线性函数）设t个独立观测值的非线性函数对该式求全微分，并用真误差代替微分量，有再利用线性函数的误差传播定律公式，可得误差传播定律（非线性函数）设沿倾斜面上A、B两点间量得距离，并测得两点之间的高差。试求水平距离及其中误差。解：对求全微分，得于是即。mmmD3992.29mmmh5005.20Dm0DmhDD922.29)05.2()992.29(22220dhDhdDDDdhhDhdDhDDdhhfdDDfdD0022220mmmDhmDDmhDD550)0685.0(3)0023.1()()(22222202200mmmD5922.290220hDD误差传播定律（非线性函数）设对下图中的三角形测得，；试求边的长度及其中误差。解：为便于对求全微分，先对其取自然对数，得，然后对上式求全微分，有统一单位后，则有即。1050'05502040'4389mmb05.000.150sinsinbasinlnsinlnlnlnbadctgdctgbdbada2222222222200156.0)()(mmctgamctgambambamma04.0mma04.007.115mba07.115999989.0767134.000.150sinsinama运用误差传播定律的方法（1）建立函数（2）对于独立观测值的线性函数，可直接应用误差传播定律公式；若自变量中有非独立观测值，应变换成独立观测值的线性函数后，才能应用误差传播定律。（3）对非线性函数，必须先求其全微分化成线性形式。（4）连乘连除的非线性函数，可先取对数，再求全微分。（5）注意统一单位。误差传播定律在测量上应用举例（1）水准测量的精度设A、B两水准点间的高差h施测了n个测站，则若各测站观测的精度相同，其中误差均为，则。设各测站的S大致相等，A、B间的距离为L，则测站数如果L、S均以千米为单位，则为一千米观测高差的中误差，令则有误差传播定律在测量上应用举例（2）距离丈量的精度若用长度为l的钢尺量距，连续丈量n个尺段，设全长为D，则设每尺段的量距中误差为则其中是定值，为单位长度的量距中误差。即误差传播定律在测量上应用举例(3)水平角测量的精度J6级经纬仪一测回方向中误差为角值是两个方向值之差，故一测回角值中误差为设n边形各内角均观测一测回，其闭合差为n边形闭合差的中误差为取三倍中误差为容许误差，则多边形闭合差的容许误差为一般取或。误差传播定律在测量上应用举例（4）根据实际要求确定观测精度和观测方法设对某三角形观测了及，若角以±3″的精度观测，为使角的中误差≤±5″，问应以怎样的精度进行观测？若使用J6级经纬仪应测几测回？解：根据误差传播定律，有所以J6级经纬仪一测回测角中误差为±8.5″，若观测n个测回，角平均值的中误差为则有即角应测5测回。§5-4等精度观测值的算术平均值及其精度评定算术平均值算术平均值的中误差观测值的中误差–由观测值的真误差计算中误差–改正数的概念–由观测值的改正数计算中误差–实例算术平均值及其中误差算术平均值设在相同的观测条件下对某量进行n次独立观测，则观测值的真误差为。将上式求和后除以n，得，即其中，称为观测值的算术平均值。当观测次数n趋近于无穷大时，观测值的算术平均值的极限就是该量的真值。所以，算术平均值又叫做最或然值或最可靠值。算术平均值的中误差观测值的中误差由观测值的真误差计算中误差（1）其中（2）改正数的概念（3）由观测值的改正数计算中误差（2）+（3），得令算术平均值的真误差为（4）则有（5）观测值的中误差由（3）可知（5）中所以有而当n无限增大时，上式右端第二项趋于零，于是有由改正数计算观测值的中误差实例设对某角同精度观测6测回，观测值见下表。试求该角的最或然值、观测值中误差和最或然值中误差。（计算在表格中进行，注意检核。）