充要条件

2.3充要条件明目标、知重点1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对条件的判断应该归结为判断命题的真假．充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．探究点一充要条件的判断思考已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数．请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？答p是q的充分条件，p是q的必要条件．小结p⇒q，故p是q的充分条件；又q⇒p，故p是q的必要条件．此时，我们说，p是q的充分必要条件．例1在下列各题中，分析p是q的什么条件：(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种)(1)p：λa＝0，q：λ＝0或a＝0；(其中，λ是实数，a是向量)(2)p：向量a＝(a1，a2)和b＝(b1，b2)平行，q：a1b2－a2b1＝0；(3)p：四边形是矩形，q：四边形是正方形；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．解(1)因为，λa＝0⇔λ＝0或a＝0，所以，p是q的充要条件．(2)因为，向量a＝(a1，a2)和b＝(b1，b2)平行⇔a1b2－a2b1＝0，所以，p是q的充要条件．(3)因为，四边形是正方形⇒四边形是矩形，但是“四边形是矩形”不能推出“四边形是正方形”，所以，p是q的必要不充分条件．(4)因为，“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p是q的既不充分又不必要条件．反思与感悟判断p是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法．跟踪训练1(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A．ab＝0B．ab0C．a2＋b2＝0D．a2＋b20答案D解析a2＋b20，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b20.(2)x2的一个必要不充分条件是__________；x＋y0的一个充分不必要条件是________________．答案x0x0且y0(答案不惟一)(3)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是___________________________________．答案a－1解析函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a0，解得a－1.反之，若a－1，则Δ0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点．探究点二有关充要条件的证明或求解思考如何证明充要条件？答分清充分性和必要性．例2求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k－2.证明必要性：若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则Δ＝2k－12－4k2≥0，x1－1＋x2－10，x1－1x2－10⇒k≤14，x1＋x2－20，x1x2－x1＋x2＋10，即k≤14，－2k－1－20，k2＋2k－1＋10，解得k－2.充分性：当k－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k0.设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)0.又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－10，∴x1－10，x2－10.∴x11，x21.综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k－2.反思与感悟一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.跟踪训练2求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．解①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a0；若方程有两个负的实根，则必须满足1a0，－1a0，Δ＝1－4a≥0⇒0a≤14.综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤14.反之，若a≤14，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤14.1．“x22013”是“x22012”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由于“x22013”时，一定有“x22012”，反之不成立，所以“x22013”是“x22012”的充分不必要条件．2．设{an}是等比数列，则“a1a2a3”是“数列{an}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析{an}为等比数列，an＝a1·qn－1，由a1a2a3，得a1a1qa1q2，即a10，q1或a10,0q1，则数列{an}为递增数列．反之也成立．3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1答案A解析当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图像关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.4．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－12B．x＝－1C．x＝5D．x＝0答案D解析∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x.又a⊥b⇔a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0.[呈重点、现规律]1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．2．充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．一、基础过关1．“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数．2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0.3．设x∈R，则“x12”是“2x2＋x－10”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析不等式2x2＋x－10的解集为xx12或x－1，故由x12⇒2x2＋x－10，但2x2＋x－10D⇒/x12，故选A.4．平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案D解析当满足A、B、C三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D符合．5．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的________条件．答案充要解析由|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，则有cos〈a，b〉＝±1.即〈a，b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a与b同向或反向，所以〈a，b〉＝0或π，所以|a·b|＝|a||b|.6．在△ABC中，“△ABC为钝角三角形”是“AB→·AC→0”的________条件．答案必要不充分解析当△ABC为钝角三角形时，角A，B，C中的任何一个角都有可能是钝角，不一定有AB→·AC→0；但当AB→·AC→0时，A为钝角，△ABC一定是钝角三角形．7．已知p：ab≠0，a＋b＝1；q：ab≠0，a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.求证：p是q的充要条件．证明①先证充分性成立．∵ab≠0，a＋b＝1，∴b＝1－a.∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.②再证必要性成立．∵ab≠0，∴a≠0且b≠0.∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0.∴(a2－ab＋b2)·(a＋b－1)＝0.∵a2－ab＋b2≠0，∴a＋b＝1.由①②知，p是q的充要条件．二、能力提升8．设集合A＝{x∈R|x－20}，B＝{x∈R|x0}，C＝{x∈R|x(x－2)0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析A∪B＝{x∈R|x0或x2}，C＝{x∈R|x0或x2}，∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．9．下列不等式：①x1；②0x1；③－1x0；④－1x1.其中，可以为x21的充分条件的所有序号为________．答案②③④解析由于x21即－1x1，①显然不能使－1x1一定成立，②③④满足题意．10．给出下列命题：①命题“若b2－4ac0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“在△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若ab0，则3a3b0”的逆否命题；④“若m1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案①②③解析①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；③因为命题“若ab0，则3a3b0”是真命题，故其逆否命题为真；④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)0的解集为R，则m1，假命题，因为m0，[－2m＋1]2－4mm－30，得m∈∅.所以应填①②③.11．已知p：12≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．答案[0，12]解析由(x－a)(x－a－1)＜0得a≤x≤a＋1，而p是q的充分不必要条件，所以有a≤12，a＋11，或a12，a＋1≥1，，得0≤a≤12.12．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明充分性：(由ac0推证方程有一正根和一负根)∵ac0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac0.∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x2＝ca0，∴方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac0)∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝ca0，即ac0，综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.三、探究与拓展13．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy0，即x