创新设计2016_2017学年高中数学第一章导数及其应用1.1.1_1.1.2变化率问题导数的概念课

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念第一章§1.1变化率与导数1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一函数的平均变化率答案平均变化率1.平均变化率的概念设函数y＝f(x)，x1，x2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的，习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝.于是，平均变化率可以表示为.fx2－fx1x2－x1f(x2)－f(x1)ΔyΔx答案x2－x12.求平均变化率求函数y＝f(x)在[x1，x2]上平均变化率的步骤如下：(1)求自变量的增量Δx＝；(2)求函数值的增量Δy＝；(3)求平均变化率＝＝.f(x2)－f(x1)fx2－fx1x2－x1fx1＋Δx－fx1ΔxΔyΔx思考(1)如何正确理解Δx，Δy?答案答案Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘，其值可取正值、负值，但Δx≠0；Δy也是一个整体符号，若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)，而不是Δy＝f(x2)－f(x1)，Δy可为正数、负数，亦可取零.(2)平均变化率的几何意义是什么？答案如图所示：y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然.ΔyΔx平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y＝f(x)图象上有两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，则fx2－fx1x2－x1＝kAB.答案st0＋Δt－st0Δt知识点二瞬时速度与瞬时变化率答案瞬时速度把物体在某一时刻的速度称为.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s＝s(t)描述，设Δt为时间改变量，在t0＋Δt这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs＝，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度，即＝.v＝ΔsΔts(t0＋Δt)－s(t0)v答案瞬时变化率v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0st0＋Δt－st0Δtst0＋Δt－st0Δt物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度，即t0时刻的瞬时速度，用v表示，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率在Δt→0时的极限，即.瞬时速度就是位移函数对时间的.思考(1)瞬时变化率的实质是什么？答案其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.ΔyΔx答案①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；②联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？答案知识点三导数的概念答案导数函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝.limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx0|xxy③取极限，得导数：f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.思考(1)函数f(x)在x0处的导数满足什么条件时存在？答案求解函数f(x)在x0处导数的步骤如下：①求函数值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；答案函数f(x)在x0处可导，是指Δx→0时，ΔyΔx有极限，如果ΔyΔx不存在极限，就说函数在点x0处无导数.(2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤是什么？②求平均变化率：ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；返回答案题型探究重点突破题型一求平均变化率解析答案反思与感悟解当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx＝[2x0＋Δx2＋3]－2x20＋3Δx＝4x0Δx＋2Δx2Δx＝4x0＋2Δx.当x0＝2，Δx＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12＝9.所以平均变化率ΔyΔx＝2Δx＋4.解析答案2Δx＋4解析因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(Δx)2＋4Δx，解∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝1x0＋Δx2－1x20解析答案∴ΔyΔx＝－Δx2x0＋Δxx0＋Δx2x20Δx＝－Δx2x0＋Δxx0＋Δx2x20，＝－2x0＋Δxx0＋Δx2x20.＝limΔt→0(3－Δt)＝3.题型二实际问题中的瞬时速度解析答案例2一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s).(1)求此物体的初速度；解初速度v0＝limΔt→0sΔt－s0Δt＝limΔt→03Δt－Δt2Δt即物体的初速度为3m/s.解v瞬＝limΔt→0s2＋Δt－s2Δt＝limΔt→032＋Δt－2＋Δt2－3×2－4Δt(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；即此物体在t＝2时的瞬时速度为1m/s，方向与初速度方向相反.解析答案＝limΔt→0－Δt2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1.解v＝s2－s02－0＝6－4－02＝1.(3)求t＝0到t＝2时的平均速度.即t＝0到t＝2时的平均速度为1m/s.解析答案反思与感悟v1＝ΔsΔt≈2.9890.1＝29.89(米/秒).同理，当t在区间[3,3.01]上时，v2≈29.449(米/秒)当t在区间[3,3.001]上时，v3≈29.4049(米/秒)，当t在区间[3,3.0001]上时，v4≈29.40049(米/秒).解析答案解析答案(2)求t＝3秒时的瞬时速度.所以t＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒.解ΔsΔt＝s3＋Δt－s3Δt＝12g3＋Δt2－12g·32Δt＝12g(6＋Δt)，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→012g(6＋Δt)＝3g≈29.4(米/秒).题型三函数在某点处的导数解析答案反思与感悟解Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－(1－11)＝Δx＋Δx1＋Δx，ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(1＋11＋Δx)＝2，从而y′|x＝1＝2.解析答案解∵Δy＝4Δx＋22－422＝4Δx＋22－1＝－Δx2＋4ΔxΔx＋22，∴ΔyΔx＝－Δx＋4Δx＋22，∴limΔx→0ΔyΔx＝－limΔx→0Δx＋4Δx＋22＝－1.解析答案因对导数的概念理解不到位致误例4设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)已知，求下列各式的极限值.返回(1)limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx；(2)limh→0fx0＋h－fx0－h2h.易错易混防范措施当堂检测123451.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足()A.Δx＞0B.Δx＜0C.Δx≠0D.Δx可为任意实数C解析答案12345A.从时间t到t＋Δt时物体的平均速度B.t时刻物体的瞬时速度C.当时间为Δt时物体的速度D.从时间t到t＋Δt时位移的平均变化率B解析答案2.沿直线运动的物体从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么limΔt→0ΔsΔt为()解析v＝ΔsΔt，而limΔt→0ΔsΔt则为t时刻物体的瞬时速度.12345解析答案12解析∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝1＋Δx－1，∴ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→011＋Δx＋1＝12.12345解析答案4.设f(x)在x0处可导，若limΔx→0fx0＋3Δx－fx0Δx＝A，则f′(x0)＝.13A解析limΔx→0fx0＋3Δx－fx0Δx＝3lim3Δx→0fx0＋3Δx－fx03Δx＝3f′(x0)＝A.故f′(x0)＝13A.12345解析答案课堂小结1.求平均变化率的步骤：(1)求Δy，Δx.(2)求ΔyΔx.2.求瞬时速度的一般步骤：(1)求Δs及Δt.(2)求ΔsΔt.(3)求limΔt→0ΔsΔt.3.利用定义求函数f(x)在x＝x0处的导数：(1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).(2)求ΔyΔx.(3)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.返回0'|xxy