中考复习：等腰三角形

•一、教学目标：•1.掌握等腰三角形的性质、等腰三角形的判定；•2.能灵活运用等腰三角形的性质和判定解决相关问题；•3.在等腰三角形腰和底不明确或顶角不明确时要用分类讨论的思想，让学生体会分类讨论思想。•二、考情分析：•等腰三角形的概念、性质、判定是中考的一重点，在选择题、填空题、解答题中都有涉及。•三、重点：等腰三角形的性质和判定。•难点：分类讨论思想。1.定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形2.性质：⑴等腰三角形的两个底角相等（在一个三角形中，等边对等角）⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（等腰三角形三线合一）概念一、等腰三角形知识的梳理(3)是轴对称图形(1).定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形(2).判定定理：3、等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的性质•例1已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝80°．求∠C和∠A的度数．•例2如图10.3.3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠ADC和∠1的度数．图10.3.3分类讨论思想例3、已知ΔABC是等腰三角形，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，求∠BAC的度数。∵AD⊥BC，AD=1/2BC=BD=CD，∴∠BAD=∠B=∠C=∠CAD=450∴∠BAC=900BACD解：1、当BC为底边时，如图：ABCD∵AD=1/2BC=1/2ABAD⊥BC∴∠B=300∴∠BAC=∠C=1/2（1800﹣300)=7502、当BC为腰时，设∠B为顶角，分下面几种情况讨论：（1）顶角B为锐角时，如图：DBAC（2）当顶角B为钝角时，如图：∵AD⊥BCAD=1/2BC=1/2AB∴∠ABD=300∴∠BAC=∠C=1/2∠ABD=150∴∠BAC的度数为900或750或150（3）当顶点B为直角时，高AD与腰AB重合则有AD=AB=BC，与已知矛盾，故∠B≠900(分类讨论思想)在解等腰三角形的题目时,经常会运用分类思想讨论,以防止掉入数学“陷阱”!2.若等腰三角形的一个内角是45°,则它的顶角为90°()1.若等腰三角形二条边的长分别是4和8,则它的周长为______.3.若等腰三角形的一外角是100°,那么它的三个内角分别是____________________________.总结:在解等腰三角形的题目时,经常会运用分类思想讨论,以防止掉入数学“陷阱”!20错50°、50°、80°或80°、80°、20°4.等腰三角形一腰上的高是腰长的一半,则顶角度数为_____________。30°或150°(填对或错!)5.等腰三角形一个内角为80度，则另外两个内角分别为_____________。50°、50°或80°、20°每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。【数与代数】1、概念分段定义2、公式、定理、法则分段表达3、实施某些运算引起分类讨论4、含参方程或不等式【几何】5、图形位置不确定6、图形形状不确定【其他】题设本身有分类1、明确分类对象2、明确分类标准3、逐类分类、分级得到阶段性结果4、用该级标准进行检验筛选结果5、归纳作出结论【类型一、与数与式有关的分类讨论】热点1：实数分类、绝对值、算术平方根热点2：与函数及图象有关的分类讨论：变量取值范围、增减性热点3：含参不等式热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。热点5：含参方程【类型二、三角形中的分类讨论】热点1.与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中，无论边还是顶角、底角不确定的情况下，要分情况求解，有时要分钝角三角形、直角三角形、锐角三角形分别讨论解决．（1）与角有关的分类讨论（2）与边有关的分类讨论（3）与高有关的分类讨论热点2：与直角三角形有关的分类讨论：在直角三角形中，如果没有指明哪条边是直角边、斜边，这需要根据实际情况讨论；当然，在不知哪个角是直角时，有关角的问题也需要先讨论后求解．热点3：与相似三角形有关的分类讨论（1）对应边不确定（2）对应角不确定【类型三：圆中的分类讨论】热点1：点与圆的位置关系不确定热点2：弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论热点3：两弦与直径位置热点4：直线与圆的位置的不确定热点5：圆与圆的位置的不确定一、概念中的分类讨论3、如半径为3cm的⊙O1与半径为4cm的⊙O2相切，两圆的圆心距O1O2＝cm.1、已知|a|=3，|b|=2，且ab＜0，则a-b=；2、等腰三角形的两边为6和8，那么此三角形的周长为；1、直角三角形的两边为3和4，那么第三边长为；2、等腰三角形的一个角的度数为40°，那么此三角形的另两个角的度数为；3、若半径为3和5的两个圆相切，则它们的圆心距为。二、图形不确定的分类讨论例1、在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形.ACB50°110°20°（1）、对∠A进行讨论（2）、对∠B进行讨论（3）、对∠C进行讨论CABACB20°20°20°20°CAB50°50°CAB80°80°20°CAB65°65°50°CAB35°35°110°CAB50°50°例2、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB=6cm，CD=8cm，AB∥CD，则AB与CD之间的距离为；BBACDDCAOO例3、在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使得△AOP为等腰三角形，则符合条件的P点共有个4yoxA(1,1)P1(2,0)P3(,0)2P2(-,0)2P4(1,0)-1-1111、若直线y=－x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是2，则b的值为；2或-2yxoyxo2、已知：点O是ΔABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数。OACBOACB三、运动变化中的分类讨论例1、A为数轴上表示-1的点，将点A沿数轴平移3个单位到B，则点B所表示的实数为（）A、2B、2C、-4D、2或-4例2、如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝300，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒种后⊙P与直线CD相切．Ａ．4Ｂ．8Ｃ．4或6Ｄ．4或8PACDBO1、如图，⊙O从直线AB上的点A（圆心O与点A重合）出发，沿直线AB以1厘米／秒的速度向右运动（圆心O始终在直线AB上）．已知线段AB＝6厘米，⊙O，⊙B的半径分别为1厘米和2厘米．当两圆相交时，⊙O的运动时间t（秒）的取值范围是_______________.O(A)B2、如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P从A出发，沿AB以每秒1cm的速度向B运动，同时，点Q从点B出发，沿BC以相同速度向C运动，问，当运动几秒后，△PBQ为直角三角形？ABCPQCABPQHABPQH∠PQB或∠QPB思考：若△PQB为直角三角形，哪些角可能为直角？四、含参变量的分类讨论例1、解关于x的方程：ax-1=x；解：ax–x=1；（a–1）x=1；x=a–11（1）当a=1时；此方程无解；（2）当a≠1时；方程的解为：（1）不经过第二象限，那可以只经过第一、三象限，此时b=0；（2）不经过第二象限，也可以经过第一、三、四象限，此时b＜0.b≤0也可以用图象来直观地解决这问题：xy例2、若直线：y=4x+b不经过第二象限，那么b的取值范围为；某班四个小组的人数如下：10、10、x、8，已知这组数据的中位数和平均数相等，则x=_______.8或12•分析：涉及到中位数，与参数x的排列位置有关.这样，存在几种，分别加以讨论.•若x≤8，则中位情况数为9，平均数为9，则x=8•若8≤x≤10，则中位数为(10+x)/2，平均数为(10+10+x+8)/4,得(10+x)/2=(10+10+x+8)/4,x=8•若x≥10,则中位数为10,平均数为10,x=121.通过本堂课的复习,你有何收获?2.反思一下你所获的经验,与同学交流!数学知识:“等边对等角”、“等角对等边”及“三线合一”(在同一个三角形)•数学思想:分类思想！