数学建模关于露天采矿问题

露天采矿问题摘要本文就某公司在方形土地上进行采矿的合理性问题建立了综合评价模型，对各层进行分析，通过确定选取挖取哪些块，给出合理性方案，使该公司的纯利润最大。一、问题重述某公司获准在一块mm200200的方形土地上露天采矿。因为土石滑坡，挖坑的坑边坡度不能超过45。公司已得到不同位置不同深度处的矿砂所含纯金属的百分数的估计值。考虑到坡角对挖坑工作所加的限制，公司决定将问题按长方形块的挖取问题处理。每个长方形块的水平尺寸为mm5050，铅直尺寸为m25。若在一个深度层上挖了4块；则在下一层上还可为挖一块；下图所示的情形（实线为上一层块，虚线为下一层块）是俯视这5块的水平位置关系。俯视图这样以来，所能挖取的块数，第一层最多16块，第二层最多9块，第三层最多4块，第四层最多1块。不能再往深挖取。所有这些可能挖取的块，按已得的估计值，将各块含金属的百分数作为块的值。这个优化问题的目标是使纯收入最多，而要做的决策是开采规划，即从第一层到第四层那些块需要开采。而每一层每一块开采成本是相同的，而获取的利润不同。每一题的唯一受到的一个约束条件：挖坑的坑边坡度不能超过45。，即简化模型足若在一个深度层挖了四块，则在下一层还可以挖一块；将决策变景、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来便可得到下面的模型。二、模型假设1、利用0-1模型，作为决定每一块是否需要开采的模型，即O代表这一块，l代表这一块。2、同时利用矩阵，为每一层每一块编号，即第一层设为矩阵A，第二层设为矩阵B等。三、符号说明ijA代表第一层第i行第j块；ijB代表第二层第i行第i块；ijC代表第三层第i行第i块：ijD代表第四层第i行笫j块；设Z为最大利润。四、模型建立由于挖去一块的收入同该块的值成正比，可设比例系数为R，由挖一个值为100的块可收入200000。所以可求出R=2000。故将每一块的值乘以两千，则是这一块所获得的利润。即第一块的利润为300011A、第二块则是12A……将每一块的所获得的利润累加，之后减去每一块的成本3000ijA+6000ijB+8000ijC+10000ijD所以目标函数为Z=3000A11+3000A12+3000A13+1500A14+3000A21+4000A22+3000A23+1500A24+2000A31+2000A32+1500A33+1000A34+1500A41+1500A42+1000A43+500A44+8000B11+8000B12+4000B13+6000B21+6000B22+2000B23+4000B31+4000B32+1000B33+24000C11+12000C12+1000C21+8000C22+12000D11-3000A11-3000A12-3000A13-3000A14-3000A21-3000A22-3000A23-3000A24-3000A31-3000A32-3000A33-3000A34-3000A41-3000A42-3000A43-3000A44-6000B11-6000B12-6000B13-6000B21-6000B22-6000B23-6000B31-6000B32-6000B33-8000C11-8000C12-8000C21-8000C22-10000D11约束条件：即若在一个深度层挖了四块，则在下一层还可以挖一块。所以当下面一块为1时，上面四块必须同时为1，所以可列不等式：A11+A12+A21+A22-4B11=0A12+A13+A22+A23-4B12=0A13+A14+A23+A24-4B13=0A21+A22+A3I+A32-4B21=0A22+A23+A32+A33-4B22=0A23+A24+A33+A34-4B23=0A31+A32+A4I+A42-4B31=0A32+A33+A42+A43-4B32=0A33+A34+A43+A44-4B33=0B11+B12+B21+B22-4C11=0B12+B13+B22+B23-4C12=0B21+B22+B31+B32-4C21=0B22+B23+B32+B33-4C22=0C11+C12+C21+C22-4D11=0五、模型求解与分析将上述输入LINGO，通过LINGO运算结果我们可以得出，当挖取A11、A12、A13、A21、A22、A23、A31、A32、A33、B11、B12、B21、B22、C11，我们所获得的最大利润是17500.00，六、参考文献[1]谢金星，薛毅.《优化建模与lindo/lingo软件》.北京.清华大学出版.2005.7[2]姜启源,谢金星,叶俊等，数学模型（第3版），北京:高等教育出版社,2003。[3]孙麟平，运筹学，北京:科学出版社,2005。[4]彭放等，数学模型方法，北京:科技出版社,2007。