数学建模导弹追踪

数学建模实验报告实验名称：导弹追踪问题问题背景描述：设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？主要内容（要点）：解法一（解析法）设导弹在t时刻的位置为P(x(t),y(t))，乙舰位于),1(0tvQ.由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧OP在点P处的切线，即有xytvy1'0即yyxtv')1(0(1)又根据题意，弧OP的长度为AQ的5倍，即tvdxyx0025'1(2)由(1),(2)消去t整理得模型:(3)'151)1(2yyx初值条件为:0)0(y0)0('y解即为导弹的运行轨迹:245)1(125)1(855654xxy当1x时245y，即当乙舰航行到点)245,1(处时被导弹击中.被击中时间为:00245vvyt.若v0=1,则在t=0.21处被击中.解法二(数值解)令y1=y,y2=y1’，将方程（3）化为一阶微分方程组。2151'')1(yyx)1/(151''21221xyyyy1.建立m-文件eq1.mfunctiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2.取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下：x0=0，xf=0.9999[x,y]=ode15s('eq1',[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),’b.')holdony=0:0.01:2;plot(1,y,’b*')结论:导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰解法三(建立参数方程求数值解)设时刻t乙舰的坐标为(X(t)，Y(t))，导弹的坐标为(x(t)，y(t)).1．设导弹速度恒为w，则222)()(wdtdydtdx（1）2.由于弹头始终对准乙舰，故导弹的速度平行于乙舰与导弹头位置的差向量，即：yYxXdtdydtdx，0（2）消去λ得：)()()()()()(2222yYyYxXwdtdyxXyYxXwdtdx（3）3．因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1，则w=5，X=1，Y=t因此导弹运动轨迹的参数方程为：0)0(,0)0()()()1(5)1()()1(52222yxytytxdtdyxytxdtdx4.解导弹运动轨迹的参数方程建立m-文件eq2.m如下：functiondy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下：[t,y]=ode45('eq2',[02],[00]);Y=0:0.01:2;plot(1,Y,'-')，holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：图1图2导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰，与前面的结论一致.在chase2.m中，按二分法逐步修改tf，即分别取tf=1，0.5,0.25,…,直到tf=0.21时，得图2.实验结果报告与实验总结：结论：t=0.21时，导弹在（1，0.21）处击中乙舰。