数学建模的应用(安全工程)

1煤矿瓦斯爆炸危险性评价数学模型及应用孟祥平安全11-3班22号摘要对高瓦斯矿井，建立了以采煤工作面日产量之和最大为目标函数，以采煤工作面日产量、各巷道风量、各巷道调节量、主要通风机风量、煤矿瓦斯情况和风压为决策变量的评价线性代数模型。根据模型来评价煤矿瓦斯爆炸的危险性。关键词矿井瓦斯数学建模模糊数学矩阵爆炸性评价近年来，我国部分煤炭企业由于各种原因导致瓦斯积聚，引发的瓦斯爆炸事故时有发生。事故的后果往往都非常的严重。这些事故的发生往往是由于矿井内瓦斯的监控监测系统不够完善通风系统往往也是造成事故的原因之一。综合这些原因就是对煤矿瓦斯爆炸在不同情况下的危险性没有很好的评价，所以对瓦斯爆炸的预防就是一个弱点。基于此，对煤矿瓦斯爆炸危险性评价就先的尤为重要。本文主要应用数学建模、线性代数以及煤矿瓦斯等方面的知识，建立煤矿瓦斯爆炸危险性评价数学模型。1煤矿瓦斯爆炸危险性评价指标的建立指标体系的选择是安全评价研究内容的基础和关键，指标体系应能够反映评价内容的主要特征和基本状况。在对新汶矿业集团某矿的瓦斯爆炸危险性调查、分析的基础上，我们确定了瓦斯爆炸危险性的评价指标，如图1所示。图1瓦斯爆炸危险性评价指标结构图（层次结构模型）2用层次分析法确定评价指标权重2.1层次分析法的原理[1]1973年美国运筹学家T.L.Saaty针对现代管理中存在的许多复杂、模糊不清的相关关系煤矿瓦斯爆炸危险性A瓦斯浓度B1瓦斯监测检查B2瓦斯排放与管理B3局部风机及其风筒B4主要通风机及通风系统B5明火管理B6电器设备B7放炮管理B8胶带机防火B92如何转化为定量分析的问题，提出了一种层次权重决策分析法（AnalyticalHirerarchyProcess,即AHP）。简称层次分析法。AHP的基本思想是先按问题的要求建立起一个描述系统功能或特征的内部独立的递阶层次结构，通过两两比较因素的相对重要性，给出相应的比例标度，构造上层某要素对下层相关元素的判断矩阵，以给出相关元素对上层某要素的相对重要序列。层次分析法的一般步骤为：2.1.1建立递阶层次结构模型递阶层次是关于系统结构的抽象概念，是为研究系统各组成部分的功能的相互作用，以及他们对整个系统的影响而构造的。通常模型结构分为3层，如图2。图2递阶层次结构①目标层。这是最高层，是指分析问题的预定目标或理想结果。②准则层。该层为中间层，为评价准则或衡量准则，也可为因素层、约束层，可再分为子准则、子因素层。③措施层。这是最低层，表示为实现目标可提供选择的各种措施、指标等。2.1.2构造两两判断矩阵应用层次分析法解决决策中的权重分配问题，依据是两两比较的标度和判断原理。Saaty教授巧妙地运用了模糊数学理论，集人类判断事物好坏、优劣、轻重、缓急的经验方法，提出了1～9的比例标度，见表1。判断矩阵nnijaA)(有如下性质：)3,2,1,(1a01jiaaajiijijii；；表1比例标度的意义标度值定义说明1同样重要两元素的重要性相等3稍微重要一个元素的重要性稍高于另一个措施层目标层准则层目标1准则1措施2措施n措施1准则n准则2…………35明显重要一个元素的重要性明显于另一个7强烈重要一个元素的重要性强烈于另一个9绝对重要一个元素的重要性绝对于另一个2,4,6,8为上述相邻判断的中值若因素i与因素j比较得ija，则因素j与因素i比较得ija12.1.3层次分析的计算对于两两比较得到的判断矩阵A，解特征根问题：WAWmax，所得到的W经正规化后作为元素的排序权重。数学上已证明，对于正定互反矩阵A，其最大特征根max存在且唯一，W可以由正分量组成，除差一个常数倍外，W是唯一的。实际上，对A很难求出精确的特征值max和特征向量W，只能求它们的近似值，计算方法一般有幂法、和积法以及根法，通常采用根法[2]，其计算步骤如下：⑴判断矩阵A的元素按行相乘，得到行元素的乘积iMniijinjiaM1),...,2,1,(（1）⑵各行的乘积iM分别开n次方，得到iWiW=niM(i=1,2,…,n)（2）⑶将向量W归一化ni（3）⑷计算判断矩阵的最大特征根maxniiinWAW1max)(（4）（4）式中iAW)(表示AW的i个分量。2.1.4判断矩阵的一致性检验判断矩阵的一致性指标为：)1()(maxnnCI（5）4（5）式中的n为n判断矩阵的阶数。平均随机一致性指标RI，RI是多次（大于500次）重复进行随机判断矩阵特征值得计算后取算术平均值得到的。RI的取值如表2所示。表2RI的取值阶数123456789101112RI000.520.801.121.261.361.411.461.491.521.54计算一致性比例CRRICICR（6）当1.0CR时，一般认为A的一致性是可以接受的。否则需要重新调整判断矩阵，直至满足一致性检验。2.2用层次分析法确定影响煤矿瓦斯爆炸因素的权重2.2.1建立层次结构模型根据新汶矿业集团某矿的实际情况，绘出的层次结构模型同图1。2.2.2建立两两判断矩阵两两判断矩阵的确定是根据专家和现场较权威的业内人士所给的两两判断矩阵的基础上，对个别比值与其他专家所给比值相差较大的，进行剔除，然后求平均值获得，如表3所示。表3瓦斯爆炸危险性判断矩阵AB1B2B3B4B5B6B7B8B9B1135335737B21/313315517B31/51/3111/33315B41/31/3111/3131/34B51/313312317B61/51/51/311/2131/33B71/71/51/31/31/31/311/43B81/311313417B91/71/71/51/41/71/31/31/712.2.3计算权向量由（1）、（2）、（3）、（4）式可求得：50.000002384.0000,0.0003,0.0200,,126.0000,0.14811.0000,525.0000,,99225.0000M0.236,1.636,0.4000.647,1.711,0.809,,1.000,2.0063.591,'W0.0200.136,,0.033,0.0540.142,0.067,0.083,0.167,0.298,W0.188,1.261,,0.318,0.5171.3400.630,0.808,1.568,2.889,AW，515.9max2.2.4一致性检验由（5）式可得064.0CI，查表2得46.1RI，再由（6）式可得1.0044.046.1064.0CR，所以判断矩阵满足一致性检验，即所得该组权重可以接受。3模糊评价模型的建立3.1评价集的选取为了对各评价指标进行定量分析，需要确定各指标的评价集。本文采用五级百分制评价，把评价集v划分为五个评价等级，即大较大小很小极小,,,,,,,,54321vvvvvv。其中：1v—煤矿瓦斯爆炸危险性“极小”，其评分区间为100,90，中值为95；2v—煤矿瓦斯爆炸危险性“很小”，其评分区间为89,80，中值为84.5；3v—煤矿瓦斯爆炸危险性“小”，其评分区间为79,70，中值为74.5；4v—煤矿瓦斯爆炸危险性“较大”，其评分区间为69,60，中值为64.5；5v—煤矿瓦斯爆炸危险性“大”，其评分区间为59,40，中值为49.5；选择各区间的中值作为等级的参数，则5个等级所对应的参数为:95、84.5、74.5、64.5、49.5，其参数列向量为5.495.645.745.8495，，，，u。3.2构造模糊评判矩阵[3]由所有评价指标分属于各评价等级的隶属度值可构成模糊关系矩阵R，由各指标的权向量W和关系矩阵R可构造出模糊评判矩阵QRWQ（7）3.3计算综合评判结果[3]6由模糊评判矩阵Q和评价集的参数列向量u可求得系统的综合评判结果ZuQZ（8）4应用实例4.1构造模糊关系矩阵由10位专家对该矿的瓦斯爆炸危险性各自做了评价后，经归一化处理，得到模糊关系矩阵R如下：004.02.04.0002.03.05.01.01.01.04.03.0002.04.04.01.01.01.03.04.01.001.02.06.001.02.02.05.001.01.02.06.001.02.02.05.0R4.2构造模糊评判矩阵由前面计算得到0.0200.136,,0.033,0.0540.142,0.067,0.083,0.167,0.298,W将W和R带入（7）式可得)0242.0,0723.0,1631.0,2452.0,4952.0(Q4.3综合评判结果计算由（8）式可得7756.85Z。根据评价等级规定，85.7756在危险性“很小”的区间，即该矿的瓦斯爆炸危险性为很小，与实际情况非常相符。