数学建模省级优秀论文-太阳影子定位

1太阳影子定位摘要本文研究的是利用太阳影子定位技术确定视频拍摄地点和日期的问题。根据搜集的信息以及相应问题建立影子长度变化模型、太阳影子定位模型以及基于太阳影子分析的视频定位模型。我们采用隐枚举法、模拟退火算法以及数字图像处理技术对模型进行分析求解，利用太阳影子对视频进行准确地分析、定位。对于问题一，为探究影子长度的变化规律，我们基于太阳高度角计算以及地理三角函数推导，建立影子长度变化模型。通过对影子长度推导公式的分析，我们分别讨论了影长关于杆长、观测地经纬度、日期以及地方时等参数的变化规律。应用影长变化模型，本文作出2015年10月22日北京时间9:00-15:00间天安门广场3米高直杆的太阳影子长度的变化曲线：影长随着时间分布呈先递减再增长趋势，并于北京时间12时14分时达到最低点，此时影长为3.66米。针对问题二，我们建立基于影子长度变化模型的地理定位模型。我们采用隐枚举法在合适的地理区间和杆长区间搜寻最优解，并利用欧氏距离检验所得解的可靠性。利用地理定位模型对附件1中的数据进行建模计算，求得直杆可能处于海南、越南、云南等地。在问题三中，我们根据影长随日期变化规律，在地理定位模型中增设日期变量（模型中表现为累积天数）建立地理定位定时模型。我们应用模拟退火算法在合适的解空间搜寻适合模型的最优解。根据附件2和附件3中数据进行建模，得到：附件2中直杆较可能定位时地为塔吉克斯坦（5月16日）、阿富汗（9月9日）以及伊朗（8月22日），附件3中直杆较可能定位为内蒙古自治区（9月23日），俄罗斯（8月16日）以及湖北（2月3日）。对于问题四，为探究未知拍摄设备参数条件下利用视频内物体影长获取视频拍摄地点信息，我们建立物体二维图像定位模型。通过数字图象处理技术和斜轴测方法建立三维坐标系，并利用该坐标系求得视频中物体影长。基于所得影长以及地理定位模型求取视频拍摄地点。通过对所给视频进行建模和分析求解，得到可能的拍摄地点分布在内蒙古自治区呼和浩特市、包头市和乌兰察布市。我们假定问题四的拍摄日期未知，利用物体图像定位模型和基于影长变化的地理定位定时模型，对视频进行建模、分析，求得视频有较大可能于6、7月份在内蒙古自治区中部拍摄。关键字：太阳影子定位模拟退火算法MATLAB数据图象处理二维图像定位2一、问题的重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？二、模型假设及符号说明2.1模型假设（1）忽略海拔对影长造成的影响；（2）忽略大气折射对太阳光线的影响；（3）忽略一天之内太阳直射点纬度的变化，即假设一天之内太阳赤纬值不变；（4）假设一年为365天，即非闰年；（5）假设视频中直杆长度从地平面开始计算；（6）假设像素为正方形2.2符号说明l影子长度m；L直杆长度m；h太阳高度角degree；太阳赤纬degree；3观测地地理纬度degree；t地方时（时角）degree；T参考地地方时时刻h；观测地地理经度degree；已知的参考时区经度degree；N日数（day，从日期所在年1月1日记起）；pi圆周率。三、问题一模型的建立与求解3.1问题一的分析要建立影子长度变化的数学模型，经过分析，由太阳影子平面图可知，影子长度等于直杆长除以太阳光与地平面夹角的正切。因此根据直杆长和太阳高度角，即太阳光射入的方向与地平面的夹角，利用三角函数即能求得的影子长度。而太阳高度角与太阳赤纬（太阳直射点纬度）、观测地地理纬度、地方时（时角）相关，据此建立起影子长度变化的数学模型。然后再分析影子长度关于直杆长、太阳直射点纬度（日期）、观测地理经纬度、地方时等参数的变化规律。在观测地经纬度与太阳直射点纬度（日期）已知的情况下，太阳高度角随时刻的变动而变化，由此将太阳直射点纬度、观测地地理经纬度以及地方时带入太阳高度角模型计算出9：00到15：00的太阳高度角，并利用matlab画出太阳影子长度的变化曲线。3.2模型的准备对模型中所需数据进行预处理，将经纬度与时间均转换为十进制，统一度量单位。转换公式如下： /60/60十进制度分秒天安门广场经纬度（3954'26''N，11623'29''E）转换后为纬度：39.907222°，经度：116.391389°。3.3模型的建立如下图所示，L为直杆长，l为影子长度，h为太阳高度角，杆长与太阳高度角已知或可以推算，则根据三角函数可以计算出影子长度。图3.1太阳影子平面图4(1)太阳影子长度的计算：tanhLl其中：l为影子长度，L为直杆长，h为t时刻的太阳高度角。(2)t时刻的太阳高度角计算：sinhsinsincoscoscost其中：表示太阳赤纬（与太阳直射点纬度相等）；表示观测地地理纬度(北纬为正，南纬为负)，t表示地方时（时角）。(3)太阳赤纬值计算：[0.0069180.399912cos()0.070257sin()0.006758cos(2)0.000907sin(2)0.002697cos(3)0.00148sin(3)](180/)bbbbbbpi其中：3.1415926pi为圆周率；21/365bpiN；N为日数，从每年1月1日算起。(4)时角计算：121515tT其中：T为地方时时刻（24时制），为观测地地理经度;为参考时区经度。综上所述，以直杆长、日期（太阳直射点纬度）、时刻（地方时）、观测地地理经纬度为参数的影子长度变化数学模型如下：21(sinsincoscoscos1215)15sinsincoscoscos121515TlLT[0.0069180.399912cos()0.070257sin()0.006758cos(2)0.000907sin(2)0.002697cos(3)0.00148sin(3)](180/)bbbbbbpi21/365bpiN其中：L为直杆长；为观测地地理纬度；为观测地地理经度;为已知的参考时区经度；表示太阳赤纬（等于太阳直射点纬度）；N为日数；T为参考地地方时（24时制）。3.4模型的求解根据上文建立的影子长度变化模型可得，影子长度变化与日期（太阳直射点纬度）、直杆长、时刻（地方时）、观测地地理经纬度等因素有关。将日期（太阳直射点纬度）作为变量，在直杆长、地方时以及观测地地理经纬度的参数值不变的情况下，分析讨论影子长度关于日期（太阳直射点纬度）的变化规律。取直杆长3Lm，地方时刻12T，时角0t，观测地地理纬度39.907222；观测地地理经度116.391389，已知的参考时区经度120（北京时间以120E计时），太阳赤纬（太阳直射点纬度）2326',2326'，代入上文的影子长度数学模型利用MATLAB（程序见附录）计算结果如下图所示：5图3-2太阳直射点纬度对影子的影响由上图可得出，当观测地理纬度在北回归线以北时，同一时刻的影子长度随随太阳直射点纬度（北纬为正，南纬为负）的增大而减小，也就是说太阳直射点纬度与观测地地理纬度的差值越大，影子长度越大，反之亦然。同理，可分别计算分析影子长度关于直杆长度、时刻（地方时）、观测地地理纬度等参数的变化规律，由于篇幅限制，不再一一赘述，其结果如下图所示：图3-3影子长度关于各参数的变化曲线图由1表分析可得，在观测日期、地方时、观测地经纬度以及杆长相同的情况下，影子长度随杆长增加而增加。6由2表分析可得，在观测日期、地方时、观测地经度、杆长相同的情况下，影子长度随观测地纬度从太阳直射点向两极递增。由3表分析可得，以北京时间为参考时间，则北京时区所对应的地点(120)E为参考地经度。在观测地纬度、日期、地方时、杆长相同的情况下，若观测地经度小于参考地经度，则影子长度变化快于参考地的影子长度变化；反之，若观测地经度大于参考地经度，则影子长度变化慢于参考地的影子长度变化。由4表分析可得，在观测日期、观测地经纬度、杆长相同的情况下，影子长度从日出到正午逐渐变短，正午12：00达到最短，从正午到日落又逐渐变长。应用上文建立的模型，画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线，取杆长3Lm，观测地地理纬度39.907222，日数295N，地方时刻9:00,15:00T，利用MATLAB(代码见附录)画出曲线如下图所示：图3-4预测的直杆影子长度与影长最低点可以得出，2015年10月22日北京时间(东八区，120E)9:00-15:00之间天安门广场（3954'26''N，11623'29''E）3米高的直杆的太阳影子长度在当地地方时的正午12：00时最短，最短影长为3.66米；北京时间9点时影长最长，为7.33米；北京时间15点时，影长为6.02米。四、问题二模型的建立与求解4.1问题二的分析本问需根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立确定直杆所处地点的数学模型，也就是说根据影子顶点坐标计算直杆所处地经纬度。由上一问的的分析可知，太阳影子定位的问题与观测日期（太阳直射点纬度）、地方时（时角）、观测地点（经纬度）、直杆长度以及影子长度有关，基于此可以建立数学模型确定直杆所处地点。由附件1可计算得出影子长度、观测日期和地方时，要求解确定直杆所处地点的模型，本文在全球范围内搜索经纬度，当杆长在设定的合理范围变动的情况下，计算附件一中北京时间所对应的搜索地的地方时间的影子长度，再利用欧氏距离寻找最小误差，从而得到最相符的直杆可能地点。4.2模型的准备7将附件1中的影子顶点坐标数据进行处理，通过距离公式计算出影子长度：22lxy其中：l为影子长度，,xy为横纵坐标。结果如表4-1(篇幅限制，只列有部分数据，详见附录)x坐标(米)1.03651.06991.10381.13831.1732y坐标(米)0.49730.50290.50850.51420.5198影长(米)1.321641.3975941.4769471.5601291.64659表4-1所给坐标对应的影长4.3模型的建立太阳影子定位的模型与观测日期（太阳直射点纬度）、地方时（时角）、观测地点（经纬度）、直杆长度以及影子长度有关。（1）根据已知太阳影子顶点坐标,xy计算实际影子长度:22lxy（2）计算可能地点影子长度：21(sinsincoscoscos1215)15sinsincoscoscos121515TlLT[0.0069180.399912cos()0.070257sin()0.006758cos(2)0.000907sin(