3.5条件分布与条件数学期望

一、离散型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布四、条件数学期望§3.5条件分布与条件期望三、连续型场合的全概率和贝叶斯公式14条件下的　对于一切使的则称为在给定条件分布列1{}0,{,}{},1,2,{}.jijjjiijijijijjjjPYyppyPXxYyppPXxYyiPYYypXy定义3.5.1设二维离散型随机变量的联合分布列为(,)(,),1,2,,1,2,.ijijXYpPXxYyij一、离散型随机变量的条件分布5同理，对于一切使的则称为在给定条件下的条件分布列1{}0,{,}{},1,2,{}.iiijiijijijijijiiPXxppxPXxYyppPYyXxjPXxXpxY6定义3.5.2条件下的条件分布函数为给定；()()()jjiijijiyyyyiFyxPYyXxPYyXxpXxY条件下的条件分布函数为给定()()().iijjijijxxxxjFxyPXxYyPXxYypYyX7XY3210010.0020.0030.0840.0002.0008.0010.0060.0001.0004.0005.0010.0210900.0080.0020.0013.0032.0045.0910.0000.1pijp在一汽车工厂中,一辆汽车有两道工序是由机器人完成的.其一是紧固只螺栓,其二是焊接处焊点.以表示螺栓紧固得不良的数目,以表示焊点焊接得不良的数目.据积累的资料知具有分布列32(,)YXXY:例1求在的条件下的条件分布列求在的条件下的条件分布列(1)1;(2)0.YXXY,,8解{0,1}{01}{1}PXYPXYPY0.0302,0.0453{1,1}{11}{1}PXYPXYPY0.0102,0.0459{2,1}{21}{1}PXYPXYPY0.0051,0.0459由上述分布列的表格可得9同理可得在的条件下的条件分布列为0XY,因此在的条件下，的条件分布为1YX2109192961XYP321090190290390840YXP10设在一段时间内进入某一商店的顾客人数服从泊松分布，每个顾客购物的概率为，且各个顾客是否购物相互独立，求进入商店的顾客购物人数的分布列().XPpY例2的分布列为{}e,0,1,.!mXPXmmm解在进入商店的人数的条件下，购物人数的条件分布为二项分布，即(,)()(1),0,1,,.kkmkmXmYbmpPYkXmCppkm11而，由全概率公式得,mkYkXmYk{}{}{}m=kPYkPXmPYkXm!e(1)e(1)!!!!mmkkmkkmkmm=km=kmCppppmmkmk()[(1)]e(1)e!!!!mkmkkmkm=km=kppppkmkkmk即(1)()()eee,0,1,2,.!!~().kkppppkkkYPp注意：这个例子告诉我们在直接求Y的分布有困难时，有时借助条件分布即可克服困难.12定义3.5.3二、连续型随机变量的条件分布设二维随机变量的联合概率密度为关于的边际概率密度为(,)(,),().YXYpxyYpy若对一切使的称为在的条件下的条件概率密度记为(,(,))()0,)(),().(YYYpxypxpyyYyypxypypyX13称为在的条件下条件分布函数的，记为(,)()dd(),xxYpuypxyxuYypyX或即(,{}(),)(){}d.()xYpuyFxyPXxYyupyPXxYyFxy14我们来解释一下定义的含义：0PXxYyPXxyYylimPXxyYyPXxyYyPyYy,12xYpxydxpy,12xYpxydxpy,0xYpxydxpy,xyyyYypxydydxpydy((,))()15xYpxyPXxYydxpy,FxyYpxypxypy,16(,)(){}d.()yYpxvFyxPYyXxvpy同理,定义在的条件下的和条件概率密度条件分别为分布函数XxY()()()Xpx,ypyxpx18说明联合分布、边际分布、条件分布的关系如下由连续型随机变量条件密度函数定义可得：(,)()()()()YXpxypypxypxpyx联合分布边际分布条件分布联合分布19求P{X1|Y=y}.例3设(X,Y)的概率密度是000xyyeexypxyy,,(,),其它解为此,需求出pxy(|)11PXYypxydx{}()20由于于是对y0,Ypxypxypy(,)(|)()Ypypxydx()(,)0xyyeedxy0yxyeyey[]ye,0yxyey,0x故对y0,P{X1|Y=y}1xyedxy1xye1yexoyyy21解的概率密度为由题意知随机变量),(YX其它221,1,(,)0,.xypxy例4设服从上的均匀分布，试求给定条件下的条件密度函数22(,){(,):1}().XYGxyxyYyXpxy已知条件概率密度(,)(),()Ypxypxypy22又知边际概率密度为()(,)dYpypxyx.,0,11,1π2dπ121122其他yyxyy其他222211,11,()(2)1210,.yxypxyyy11y于是当时，有在和条件下分别得到两个条件分布皆为均匀分布)其他)其他00.51,11;(020,.133,;(0.52230,.yyxpxyxpxy进一步有当时在的条件下服从上的均匀分布，对称的当时在条件下服从上的均匀分布.22221,,(1,1)1,,(1,1)yYyXyyxXxYxx23前面已知或(,)()()(,)()().YXpxypypxypxypxpyx再对求关于或关于的边际密度函数得()()((,)d,()()())d.YXXYpypxpyxxpxpypxyypxyXY三、连续型场合的全概率和贝叶斯公式连续型全概率公式的密称此二式为度函数.2425将全概率公式的密度函数代入条件分布密度公式得()()(),()()d()()(),()()dXXYYpxpyxpxypxpyxxpypxypyxpypxyy连续型贝叶斯公式的密称此二式为度函数.2601011YXXxxYxYpy(,),(),(,).().设数在区间上随机地取值当观察到时数在区间上随机地取值求的概率密度解具有概率密度由题意知X1010Xxpx,,(),.其它),10(xx对于任意给定的值,的条件下在xX的条件概率密度为Y其它1,01,()10,.xypyxx例527的联合概率密度为和因此YX(,)()()Xpxypxpyx.,0,10,11其它yxxY故得的边际概率密度()(,)dYpypxyx.,0,10),1ln(d110其它yyyxx四、条件数学期望定义条件期条件分布的数学期望（若存在）称为，其定义如下：为离散型续型.望；为连+-(),(,)()()d,(,)iiixPXxYyXYEXYyxpxyxXY为离散型；为连续型.+-(),(,)()()d,(,)jjjyPYyXxXYEYXxypyxyXY282929设二维连续随机变量的联合密度函数为其他试例求(,)24(1),01,(,)0,.(0)6.5.XYxyyxpxyEYX先求条件概率密度而当时，解200().01()(,)24(1)12(1).xxXpyxxpxpxydyxydyxx所以其他22,01;(,)()()0,.Xyyxpxypyxxpx2022()()dd,3xyxEYXxypyxyyyx1(0.5).3EYX30也可以将代入其他0.58,00.5;(0.5)0,.xyypyx0.501(0.5)(0.5)d8d.3EYXypyxyyyy：①条件期望是的函数，它与无条件期望在计算和意义上都有区别.()()EXYyyEX注意②因为条件期望是条件分布的数学期望，因此它具有数学期望的一切性质.如1212()()().EaXbXYyaEXYybEXYy当与相互独立时，等等121212()()()..XXEXXYyEXYyEXYy31()()()(())()()().().,③由是的函数，令而它依赖于随机变量的取值，因此有理由认为是随机变量这样＝YyYygyEXYygYEXYgYEXYgyEXYyyYEXYy32（）设是二维随机变量且存在，重期望公式则(,)()()(()).XYEXEXEEXY定理33仅就连续型给出证明，离散型类证似可证.设的联合密度函数为，的边际分布密度，记，由公式，得(,)(,)()()()()()(,)()()YYXYpxyYpygyEXYygYEXYpxypypxy()(,)dd()()ddYEXxpxyxyxpypxyxy(){()}ddYxpxyxpyy()()()dgyEXYyxpxyx34()d(())(())()YpyygEgYEYyEX●：①重期望公式的具体使用为如果是离散型随机变量则公式为说明(())(())()()();jjjEEXYYEEXYEXpYyEXYy35YYEEXYEXpyEXYydy(())()()().如果是连续型随机变量则公式为②重期望在实际应用中很有用，如求一个大范围上的指标的均值，会遇到各种困难，只好寻找有关的量，用的不同取值将大范围分成若干个小区域，先在小区域上求的平均，再对此类平均求加权平均，即可得大范围上的的均值(())()().EEXYXEXYYXXEX36设电力公司月供某厂的电力～(单位：,而该厂月实际需要电力～当满足供电时，每可创利润万元，供电不足时，缺口由工厂自行解决，但自行解决的电力每的利润只有万元，试求该厂的月期望利润例.444(10,30)10kw)(10,20)10kw3010kw107XUYU设该厂的月利润为万元,按题意可得：解当时当时30,;3010(),.ZYYXZXYXYXXxZY在时仅是的函数，37于是,当时,的期望为2010201021020()30()(1020)()1130(1020)10105040xYYxxxxZEZXxypydyyxpydyydyyxdyxx当时,的期望为2020101020301()30()d30d450.10YxZEZXxypyyyy由随机变量函数的期望公式38然后用的分布对条件期望再作一次平均，即()()(())()()dXXEZXxEZEEZXEZXxpxx20301020()()d()()dXXEZXxp