测量第6章教案

2020/4/191第六章测量误差的基本理论2020/4/192测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值：三角形内角之和α+β+γ≠180°闭合水准路线∑h≠0测量误差＝观测值－真值第一节测量误差概述真值：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。2020/4/193一、观测与观测值的分类观测是通过一定的仪器、工具和方法对某量进行的量测。通过观测获得的数据称为观测值。根据观测条件的不同分为：１、等精度观测２、不等精度观测根据观测方法不同分为：１、直接观测２、间接观测2020/4/194根据各观测值之间是否相互独立分为：１、独立观测２、非独立观测二、测量误差的来源1、测量仪器：仪器精度的局限、轴系残余误差等。2、观测者：判断力和分辨率的限制、经验等。3、外界环境条件：温度变化、风、大气折光等。2020/4/195三、测量误差的分类1、系统误差—误差的大小、正负符号固定不变或按一定的规律变化。例：钢尺尺长误差计算改正水准仪视准轴误差I操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴误差C操作时抵消(盘左盘右取平均)2020/4/196消除和削弱的方法:（1）观测值加改正数；（2）采用对称观测方法加以抵消或削弱；（3）校正仪器。系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。2020/4/197•2、偶然误差在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。2020/4/198偶然误差的特性2020/4/199图形：偶然误差分布频率直方图及曲线图有界性：偶然误差应小于限值。单峰性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等补偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。0limnn2020/4/1910减弱偶然误差的方法：１、适当提高仪器等级２、多余观测３、求最可靠值2020/4/1911精度：又称精密度，指在对某量进行多次观测中，各观测值之间的离散程度。评定精度的标准中误差容许误差相对误差第二节衡量精度的指标2020/4/1912一、中误差中误差定义在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1，l2，……，ln，真误差为Δ1，Δ2，……，Δn，则中误差m的定义为：式中2222123...Xniil真误差nm2020/4/1913式中：例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。2020/4/1914解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：，说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越高5.210)4(2)1()2(34)3(12022222222221m2.310)1()3(017)1(0)6(2)1(22222222222m21mm2020/4/1915定义由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。二、容许误差（极限误差）2020/4/1916偶然误差的绝对值大于中误差9˝的有14个，占总数的35%，绝对值大于两倍中误差18˝的只有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。2020/4/1917根据误差理论和大量的实践证明，在一系列等精度观测误差中，大于两倍中误差的个数占总数的5%，大于三倍中误差的个数占总数的0.3%。因此测量中精度要求较高时常取2倍中误差作为容许误差,即Δ容=2︱m︱一般取3倍中误差作为偶然误差的限差,即Δ容=3︱m︱2020/4/1918对于评定精度来说，有时利用中误差还不能反映测量的精度。例如丈量两条直线，一条长100m，另一条长20m，它们的中误差都是10mm，那么，能不能说两者测量精度相同呢？不能！而是前者优于后者。为此，利用中误差与观测值的比值，即mi／Li来评定精度，通常称此比值为相对误差。相对误差都要求写成分子为1的分式，即1／N。上例为22112211,20001,100001LmLmLmLm三、相对误差2020/4/1919相对（中）误差K是中误差的绝对值m与相应观测值D之比，通常以分字为1的分式来表示。即:mDDmK1一般情况:角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。相对误差是个无名数，而真误差、中误差、容许误差是带有测量单位的数值，统称绝对误差。2020/4/1920在等精度观测条件下对某量观测了n次，其观测结果为l1，l2，…ln。设该量的真值为X，观测值的真误差为1，2…，n，即1=X-l12=X-l2…………n=X-ln将上列各式求和得：nni1i1nXl＝第三节算术平均值及中误差一、算术平均值2020/4/1921上式两端各除以n得：nni1i1lXnn令nn1ini1lxn代入上式移项后得：X=x+δδ为n个观测值真误差的平均值，根据偶然误差的第四个性质，当n→∞时，δ→０，则有：0n1inlimn2020/4/1922这时算术平均值就是某量的真值。即：1nilnX在实际工作中，观测次数总是有限的，也就是只能采用有限次数的观测值来求得算术平均值，即：算术平均值x是根据观测值所能求得的最可靠的结果，称为最或是值。,lnxXn2020/4/1923等精度观测值中误差的计算公式为nmnilXii,2,1二、观测值改正数计算观测值中误差iiiiVxlVl　：改正数　：观测值未知量的最或是值是可以求得的，它和观测值的差数也可以求得，即观测值改正数未知量的真值往往是不知道的，真误差也就不知道了。2020/4/1924证明：1vvmnn两式相减，有xXviiiiv即解：设则xXnilXii,2,1iiiivxlvl　：改正数　：观测值2020/4/1925将上列等式两端各自平方，并求其和，则22nvvv将代入上式，则2nvv0lxnv故222nnnnQPn2]222)[(12433221222212（P≠Q）又因nlXlXxXnnn＝2020/4/1926由于为偶然误差，它们的非自乘积仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差的特性，即n,,,21QP0limnQPn21)1(mnvvnvvnnnvv1nvvm该式即为用改正数来求观测值中误差的公式，称为白塞尔公式。2nvv2020/4/1927因为12111nlxlllnnnn22222122221111xnMmmmmnnnn三、算术平均值中误差Mx设平均值的中误差为Mx，则有式中，1／n为常数。由于各独立观测值的精度相同，其中误差均为m。2020/4/1928故xmMn由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的倍。n11vvmn(1)xvvMnn2020/4/1929例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测值列于表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。算术平均值中误差是：341.1(1)6(61)xVVmMnnn2020/4/1930一、概念误差传播定律：表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律。第四节误差传播定律?如何由观测值精度评定观测值函数精度2020/4/1931二、研究方法１、列出函数与观测值的数学关系表达式：式中：是可直接观测的未知量；Z是的函数，即是不可直接观测的未知量。ixix123(,,,,)nzfxxxx1212()()()nZxxxnfffddddxxx2、对函数全微分2020/4/1932３、写出函数真误差与观测值真误差的关系由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：ixidxdz设有真误差，函数也产生真误差ixixZnxnxxZxfxfxf)()()(21212222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm22222221212xnnxxzmfmfmfm上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。4、写出函数中误差与观测值中误差的关系2020/4/1933[例]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距离D的中误差。(cos)(sin)''ddDdDDcosDD22222[(cos)][(sin)]''30[(cos15)0.05][(50sin15)]''DDmmmD)(048.0mmD3.求中误差解：1.函数式2.全微分2020/4/1934误差传播定律的几个主要公式：函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数一般函数nxxxz21nnxkxkxkz2211),,(21nxxxfZkxzxzkmm22221nzmmmm2222222121nnzmkmkmkm222222Z1212()()()nnfffmmmmxxx2020/4/1935例1在1：500比例尺地形图上，量得A、B两点间的距离Sab=23.4mm，其中误差mab=土0.2mm，求A、B间的实地距离SAB及其中误差mAB。解：SAB=500×Sab=500×23.4=11700mm=11.7m得mAB＝500×mab＝500×（士0.2）=土100mm＝土0.1m因此SAB=11.7m士0.1m三、误差传播定律的应用2020/4/1936例2在三角形ABC中，∠A和∠B的观测中误差mA和mB分别为±3″和±4″，试推算∠C的中误差mC。解：∠C=180°-(∠A+∠B)因为180°是已知数没有误差，则得；2225''CABCmmmm2020/4/1937例3试推导出算术平均值中误差的公式：解：2020/4/1938例4某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为h1=15.316m±5mm，h2=8.171m±4mm，h3=-6.625m±3mm，试求总的高差及其中误差。解：h=h1+h2+h3=15.316+8.171-6.625=16.862(ｍ)∴h=16.882m±7.1mm22222221235437.1hhmmmmmmm2020/4/1939设等精度观测n个三角形的三内角分别为ai、bi和ci，其测角中误差均为abcmmmm各三角形内角和的观测值与真值180°之差为三角形闭合差fβ1、fβ2、……fβn即真误差，其计算关系式为fβi=ai+bi+ci-180°根据误差传播定律得中误差关系式为：m2∑=m2a+m2b+m2c=3m2β3mm例5用三角形闭合差计算测角中误差2020/4/19403mm由此得测角中误差为：按中误差定义，三角形内角和的中误差为：ffmn得：3ffmn该式称为菲列罗公式，是小三角测量评定测角精度的基本公式。2020/4/1941例：某地区平面控制网设计为一级