高三一轮总复习文科数学课件：-三角函数的图象与性质-ppt

2019高三一轮总复习数学（文）提高效率·创造未来·铸就辉煌必修部分第三章三角函数、解三角形第三节三角函数的图象与性质1234考情分析基础自主梳理考点疑难突破课时跟踪检测栏目导航考情分析1考点分布考纲要求考点频率命题趋势三角函数的图象、性质及其应用1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．5年28考与三角函数的图象有关的问题，主要考查三角函数的图象变换、三角函数解析式的求法及三角函数图象的应用．三角函数的性质是高考的必考内容，常与三角函数的图象结合，主要考查三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性．基础自主梳理2「基础知识填一填」1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，___________，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0，，3π2，0，(2π，1)．3π2，－1(π，－1)2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)「应用提示研一研」1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．3．辨明三个易误点(1)y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数．(2)三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”连接．(3)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解．4．学会求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，通过分析ωx＋φ的范围，结合图象写出函数的值域；(2)换元法：把sinx(或cosx)看作一个整体，化为二次函数来解决．「基础小题练一练」1．在[0,2π]上，满足sinx＞0，且cosx＜0的区间是()A.0，π2B．π2，πC.π，3π2D．3π2，2π解析：解法一：由sinx＞0，得x∈(0，π)，由cosx＜0得x∈π2，3π2.所以满足条件的区间是(0，π)∩π2，3π2＝π2，π，故选B.解法二：画出y＝sinx与y＝cosx的图象(图略)，故选B.答案：B2．函数y＝tan3x的定义域为()A.xx≠3π2＋3kπ，k∈ZB.xx≠π6＋kπ，k∈ZC.xx≠－π6＋kπ，k∈ZD.xx≠π6＋kπ3，k∈Z解析：由3x≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠π6＋kπ3，k∈Z.故选D.答案：D3．函数f(x)＝sinx－π4的图象的一条对称轴是()A．x＝π4B．x＝π2C．x＝－π4D．x＝－π2解析：对于函数f(x)＝sinx－π4，令x－π4＝π2＋kπ⇒x＝kπ＋3π4，k∈Z，所以当k＝－1时，函数的一条对称轴为x＝－π4.答案：C4．函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为________，此时x＝________.解析：函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x＋π4＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝3π4＋2kπ(k∈Z)．答案：53π4＋2kπ(k∈Z)考点疑难突破3三角函数的定义域[典例导引](1)函数y＝1tanx－1的定义域为________．(2)函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为________．【解析】(1)要使函数有意义，必须有tanx－1≠0，x≠π2＋kπ，k∈Z，即x≠π4＋kπ，k∈Z，x≠π2＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为xx≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z.(2)由sin2x＞0，9－x2≥0，得kπ＜x＜kπ＋π2，k∈Z，－3≤x≤3.∴－3≤x＜－π2或0＜x＜π2.∴函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为－3，－π2∪0，π2.【答案】(1)xx≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z(2)－3，－π2∪0，π2(1)应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域．(2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式.[自主演练]函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域是________．解析：要使函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx有意义，则2sinx－1＞0，1－2cosx≥0，即sinx＞12，cosx≤12.解得2kπ＋π3≤x＜2kπ＋5π6，k∈Z.即函数的定义域为2kπ＋π3，2kπ＋5π6，k∈Z.答案：2kπ＋π3，2kπ＋5π6，k∈Z三角函数的值域或最值[典例导引](1)(2017年全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．(2)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域为________．【解析】(1)∵f(x)＝sin2x＋3cosx－34＝－cos2x＋3cosx＋14＝－cosx－322＋1，又0≤x≤π2，∴0≤cosx≤1.∴当cosx＝32时，f(x)有最大值，最大值为1.(2)设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝1－t22，且－1≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1.∴函数的值域为[－1,1]．【答案】(1)1(2)[－1,1](1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sinx、cosx、sinxcosx或sinx±cosx换成t，转化为二次函数.[自主演练]求函数y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值与最小值．解：令t＝sinx，∵|x|≤π4，∴t∈－22，22.∴y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54，∴当t＝12时，ymax＝54，当t＝－22时，ymin＝1－22.∴函数y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值为54，最小值为1－22.三角函数的性质[考向锁定]正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．常见的命题角度有(1)三角函数的周期；(2)求三角函数的对称轴或对称中心；(3)三角函数的单调性．[多维视角]角度一三角函数的周期性函数f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)的最小正周期性是()A.π2B．πC.3π2D．2π【解析】∵f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)＝3sinxcosx＋3cos2x－3sin2x－sinxcosx＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3.∴T＝2π2＝π.故选B.【答案】B角度二三角函数的对称性已知函数f(x)＝sinωx＋π4(ω0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象()A．关于直线x＝π4对称B．关于直线x＝π8对称C．关于点π4，0对称D．关于点π8，0对称【解析】∵f(x)＝sinωx＋π4的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f(x)＝sin2x＋π4.当x＝π4时，2x＋π4＝3π4，∴A、C错误；当x＝π8时，2x＋π4＝π2，∴B正确，D错误．【答案】B若函数f(x)＝sin12x＋θ－3cos12x＋θ|θ|π2的图象关于原点对称，则角θ＝()A．－π6B.π6C．－π3D.π3【解析】∵f(x)＝2sin12x＋θ－π3，且f(x)的图象关于原点对称，∴f(0)＝2sinθ－π3＝0，即sinθ－π3＝0，∴θ－π3＝kπ(k∈Z)，即θ＝π3＋kπ(k∈Z)．又|θ|π2，∴θ＝π3.【答案】D角度三三角函数的单调性已知f(x)＝2sinx＋π4，x∈[0，π]，则f(x)的单调递增区间为________．【解析】由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－3π4＋2kπ≤x≤π4＋2kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为0，π4.【答案】0，π4若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝________.【解析】∵f(x)＝sinωx(ω0)过原点，∴当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y＝sinωx是增函数；当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sinωx是减函数．由f(x)＝sinωx(ω0)在0，π3上单调递增，在π3，π2上单调递减知π2ω＝π3，∴ω＝32.【答案】321．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.[自主演练]1．(2017年全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π6D．f(x)在π2，π单调递减解析：A选项，根据函数可求得其最小正周期为T＝2πω＝2π1＝2π，则其一个负周期可为－2π，正确；B选项，将x＝8π3代入函数得f83π＝cos8π3＋π3＝cos3π＝cosπ＝－1，能取得最值，所以函数关于直线x＝8π3对称，正确；C选项，f(x＋π)＝cosx＋π＋π3，要使其有零点，则cosx＋π＋π3＝cosx＋4π3＝0.∴x＋4π3＝kπ＋π2，k∈Z，∴x＝kπ－5π6，当k＝1时，x＝π6，正确；D选项，