§1-2 条件分布与条件数学期望

§1-2条件分布与条件数学期望一．条件分布二．条件数学期望一．条件分布设pij=P{X=xi,Y=yj}（i,j=1,2,…）是二维离散型随机向量(X，Y)的联合分布律，则在事件{Y=yj}已发生的条件下，事件{X=xi}发生的条件概率P{X=xi|Y=yj}（i=1,2,…）称为在Y=yj的条件下随机变量X的条件分布律。条件分布律的定义在事件{X=xi}已发生的条件下，事件{Y=yj}发生的条件概率P{Y=yj|X=xi}（j=1,2,…）称为在X=xi的条件下随机变量Y的条件分布律。(X，Y)为二维离散型随机向量在Y=yj的条件下随机变量X的条件分布律条件分布律的计算公式}|{jiyYxXP在X=xi的条件下随机变量Y的条件分布律}{},{jjiyYPyYxXPjijpp）（,2,1i}{ijxX|yYP(X，Y)为二维离散型随机向量）（,,j21}{}{ijixXPyY,xXPiijpp（2）条件分布律由联合分布律确定。（3）联合分布律由边际分布律和条件分布律共同确定。}|{}{},{ijijixXyYPxXPyYxXP}|{}{},{jijjiyYxXPyYPyYxXP（1）条件分布律计算公式成立的条件。注记(X，Y)为二维离散型随机向量（4）离散型随机变量X、Y相互独立的充要条件}{}|{jijyYPxXyYP}{}|{ijixXPyYxXP例题1XY1234234P{X=m,Y=n}=P{共射击n次，其中第m,n次击中目标，其余n-2次不击中目标}=p2(1-p)n-2（mn）000000••••••一战士进行射击，击中目标的概率为p（0p1），射击到击中目标两次为止，设X以表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律。•••••••••p2p2(1-p)p2(1-p)p2(1-p)2p2(1-p)2p2(1-p)2••••••••••••(X，Y)为二维离散型随机向量在Y=yj的条件下随机变量X的条件分布函数条件分布函数的计算公式}{jyY|xXP在X=xi的条件下随机变量Y的条件分布函数}{}{jjyYPyY,xXPjxxijppi}{ixX|yYP)(jY|Xy|xF)(iX|Yx|yF(X，Y)为二维离散型随机向量iyyijppjxxjijippyyiijjpp设F(x,y)是二维随机向量(X，Y)的联合分布函数。条件分布函数的定义}{lim}{)(0εyYy|xXPyY|xXPy|xFεY|X}{lim0εyYy|xXPε(X，Y)为二维连续型随机向量给定y，设对于任意固定的正数，P{yYy+}0，且若对于任意实数x，极限存在，则称此极限为在Y=y的条件下X的条件分布函数，记为条件分布函数的计算公式xYYxYXduyfyufyfduyufyxF)(),()(),()|(|(X，Y)为二维连续型随机向量yXXyX|Ydvxfv,xfxfdvv,xfx|yF)()()()()(若对于固定的x，fX(x)0，则设f(x，y)是二维连续型随机向量(X，Y)的联合概率密度，若对于固定的y，fY(y)0，则在Y=y的条件下X的条件概率密度条件概率密度的计算公式在X=x的条件下Y的条件概率密度)0)(()(),()|(|yfyfyxfyxfYYYX)0)(()(),()|(|xfxfyxfxyfXXXY(X，Y)为二维连续型随机向量（2）条件概率密度由联合概率密度确定。（3）联合概率密度由边缘概率密度和条件概率密度共同确定。（1）条件概率密度计算公式成立的条件。)|()(),(|yxfyfyxfYXY)|()(),(|xyfxfyxfXYX(X，Y)为二维连续型随机向量注记（4）连续型随机变量X、Y相互独立的充要条件)()|(|yfxyfYXY)()|(|xfyxfXYX例题2011y=xyGdxyxfyfY),()(设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为，求fX\Y(x|y)，0y1．其它010)-4(12),(xyyxyxf)0)(()(),()|(|yfyfyxfyxfYYYX(X，Y)为二维连续型随机向量01)1()1(2)|(2|其他xyyxyxfYX条件分布函数的定义}{lim}{)(0εyYy|xXPyY|xXPy|xFεY|X(X，Y)为一般二维随机向量条件分布函数的计算公式),(-),(),(-),(lim)(0xFεxFyxFyεxFx|yFεX|Y}|{lim}|{)|(0|εxXxyYPxXyYPxyFεXY),(),(),(),(lim)(0y-FεyFyx-FεyxFy|xFεY|X重要结论(X，Y)为一般二维随机向量如果X，Y相互独立，则FY|X(y|x)=FY(y)。证明如果X，Y相互独立，则F(x,y)=FX(x)FY(y),进而，),(-),(),(-),(lim)(0xFεxFyxFyεxFx|yFεX|Y)()(-)()()()(-)()(lim0YXYXYXYXεFxFFεxFyFxFyFεxF)()(-)()(-)(lim0yFxFεxFxFεxFYXXXXε)(yFY二．条件数学期望如果R-S积分绝对收敛，则称它为X在Y=y的条件下的条件数学期望，记为条件数学期望的定义-)(y|xxdFY|X-)()(y|xxdFy|XEY|X条件数学期望的计算公式-)()(y|xxdFy|XEY|X1}|{)|(),(1ijiijyYxXPxyXEYX离散）（)|()|(),(2-|dxyxxfyXEYXYX连续）（1ijijippx)(),(-dxyfyxxfY条件数学期望的性质（1）当X、Y相互独立时，E(Y|X)=E(Y)（2）E(c|X)=c（c为常数）（3）E(g(X)|X)=g(X)（4）E(aY+bZ|X)=aE(Y|X)+bE(Z|X)(5)全数学期望公式E{E(Y|X)}=E(Y)全数学期望公式的证明：假设(X，Y)为二维连续型随机向量，得dxxfx|YEX|YEEX)()()}({-)()()(dyx|yyfx|YEY,XX|Y连续：dxxfdyx|yyfXX|Y)}(])({[-dydxx|yfxfyX|YX])()([-dydxy,xfy])([-dyyyfY)()(YE条件数学期望的性质条件数学期望的性质（6）E(g(X)Y|X)=g(X)E(Y|X)（7）E[Y-E(Y|X)]2≤E[Y–g(X)]2一个工人看管分布在一直线上的n台同类型机床，相邻两台机床之间相距a，假设每台机床需调整的概率为1/n，求工人两次调整机床之间所走路程的数学期望。例题3设Y：工人两次调整机床之间所走路程E(Y)=E{E(Y|X)}X：第一次调整的机床号码niiXPiX|YE1}{)(X12…nP1/n1/n…1/nY|X=i(i-1)a…a0a…(n-i)aP1/n…1/n1/n1/n…1/nE(Y|X=i)=(i-1)a.1/n+(i-2)a.1/n+…+a.1/n+a.1/n+2a.1/n+…+(n-i)a.1/n=a[2i2-2(n+1)i+n(n+1)]/2nninn/nnin-ia1212)]1()1(22[)1(32nna例题4设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为求E(X|y)，0y1．其它010)-4(12),(xyyxyxf-|)|()|(dxyxxfyXEYX01)1()1(2)|(2|其他xyyxyxfYX12)-(12)1(1ydxxxy3132y