§1.2 常微分方程 基本概念

§1.2基本概念一、常微分方程与偏微分方程二、微分方程的阶三、线性与非线性微分方程四、微分方程的解1.显式解与隐式解2.通解与特解一、常微分方程与偏微分方程定义1:把联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.;2)1(xdxdy;0(2)ydxxdy;0)3(322xdtdxtxdtxd;sin35)4(2244txdtxddtxd;)5(zyzxz.0)6(2222uzyxyuxu例1：下列关系式都是微分方程附注1：一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未知函数的导数或微分，但其中的自变量或未知函数可以不显含.如果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分，则这样的关系式就不能成为微分方程，例如就不是微分方程.实际上，我们在数学分析课程中已经知道，它是一个函数方程.122yx附注2：如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程，如上面例1中;2)1(xdxdy;0(2)ydxxdy;0)3(322xdtdxtxdtxd;sin35)4(2244txdtxddtxd就是常微分方程；如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程，如上面例1中;)5(zyzxz.0)6(2222uzyxyuxu就是偏微分方程.本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方程或方程.二、微分方程的阶定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.在上面例1中2)1(xdxdy是一阶微分方程；0(2)ydxxdy是一阶微分方程；是二阶微分方程；0)3(322xdtdxtxdtxd是四阶微分方程.sin35)4(2244txdtxddtxd例如上面例1中2)1(xdxdy是线性微分方程，0(2)ydxxdysin35)4(2244txdtxddtxd是非线性微分方程..而0)3(322xdtdxtxdtxd16522ydxdydxydxeydxdyxdxyd344165222ydxdydxyd16)(5222ydxdydxyd1)sin(522ydxdydxyd线性线性非线性非线性非线性微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式xdxdyxydxyd220)sin(ttvsv常微分方程(ode):只含一个自变量的微分方程偏微分方程(pde):含两个或两个以上自变量的微分方程方程的阶数:方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数分类n阶常微分方程的一般形式：0),,,,(nndxyddxdyyxFn阶线性常微分方程：)()()(111xfyxadxydxadxydnnnnn)(,),(xfxai都是已知函数小结：5xy是解方程的解(隐式解P17）如果IxxxxxFn,0))(,),(),(,()(',则称是方程)(x的一个解0),,,,(nndxyddxdyyxFxydxdydxyd522如：方程的通解(隐式通解P18）0),,,,(nndxyddxdyyxF（1）),,,(1nccxy有n个任意常数是（1）的解),,,(1nccxyncc,,1是独立的则称),,,(1nccxy是方程（1）的通解，如果对方程n个任意独立常数（参见P23）12'''12(1)(1)(1)120nnnnnnccccccccc例xydxdydxyd6522365613221xececyxx是通解是解含有两个任意常数两个任意常数独立23125''2312023xxxxxyycceeeyyeecc例：求一个平面曲线，使其向径与切线正交，并且经过点(0,1)解：设所求的曲线为y=y(x).))(,(xyxyx在曲线上任取一点(x,y(x)).过这一点的切线斜率为而向径的斜率为y/x,因此,dxdy1xydxdy1：0,1)()(21：2222yxCyx的隐式特解为过点隐式通解为定解条件•从前面的例子可以看到，一个微分方程有无穷多个解，但在实际问题中，我们需要寻找方程满足某种条件的解，这种条件就叫做定解条件•定解条件有两种，一种是初始条件，另一种是边界条件。这两种定解条件都是源于物理等科学的需要。相应有问题称为初值问题和边值问题。•我们主要涉及初始条件。对于n阶方程:初始条件的一般形式为:0),,,,(nndxyddxdyyxF10)1(1000)(,,)(',)(nnyxyyxyyxy这里11,00,,,nyyyx是已知的n+1个常数.它们由实际问题来决定。我们把满足初始条件的解称为初值问题的解（又称方程的特解）。例xydxdydxyd6522初始条件：6/1)0(,0)0('yy注：初值问题又称为Cauch问题365613221xececyxx已知通解：解：从通解中求初值问题的解36561361012536/10,12/53221xeeyccxx利用初始条件6/1)0(,0)0('yy把y(0)=0代入：365613221xececyxx得036521cc6132'3221xxececy又因61613221cc代入得6/1)0('y微分方程的几何解释设是一个解，在xy平面上的图形叫一条积分曲线。根据初始条件，在xy平面作点,把这个点叫做初始点，一个解满足初始条件，从几何上看，就是有一条积分曲线过初始点。00)(),,(yxyyxfdxdy)(xy),(00yx考虑：),(00yx)(xyxy))(,(xx)(xy设是一个解,则)(xy))(,()(xxfdxxd在积分曲线上任取一点，过这一点的切线斜率为))(,(xxf反之，如果一条曲线上任一点的切线斜率为函数f在这一点的值，则此曲线为积分曲线。方向场(fieldofdirections)设f(x,y)的定义域为D,过D的每一点画一小线段，其斜率等于f(x,y),我们把这种图形就叫做由方程所规定的方向场。在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线(isocline)注1：求微分方程经过点的曲线，就是在D内求一条经过的曲线，使其上每一点处切线的斜率都与方向场在该点的方向相吻合。注2：微分方程的等斜线方程为=,其中是参数。给出参数的一系列充分接近的值，就可得足够密集的等斜线族，借此可以近似地作出微分方程的积分曲线。当然，要想更精确地作出积分曲线，还必须进一步弄清楚积分曲线的极值点和拐点等。方向场例如：yxdxdy1方向场等斜线极值点与拐点曲线解曲线解曲线图例xdxdy2又如：方程确定的方向场及由此作出的方程的部分解如下小结本节我们介绍了常（偏）微分方程、阶、解（显式和隐式）、通解（显式和隐式）、定解条件、初值问题、积分曲线、方向场、等斜线等概念。重点分析了通解的定义，指出通解不一定包含方程的全部解，不是任何一个方程都有通解。对任意常数的独立性作了特别说明。介绍了微分方程的几何解释及如何利用方向场近似画出积分曲线的分布草图。本节的有关概念是后面学习的基础，请重点理解和掌握。复习与思考1．微分方程的解是否连续？是否可导?2．微分方程的解的定义区间是否可以是一个点？3.函数中任意常数是否独立？答案：1．由定义微分方程的解可导，从而必连续．2．不可，否则函数不可导，故不是解．3．不独立，因为这两个常数可以合成一个常数，其中作业：P16T4