【创新设计】2014-2015学年高中数学 3.3.1 几何概型课件 新人教A版必修3

高中数学·必修3·人教A版3.3几何概型3.3.1几何概型[学习目标]1．了解几何概型与古典概型的区别．2．理解几何概型的定义及其特点．3．会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．[知识链接]1．三角形的面积S＝____(其中底为a，高为h)；圆的面积S＝___．2．棱锥的体积V＝____，棱柱的体积V＝Sh，球的体积V＝_____．12ahπr213Sh43πr3[预习导引]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与_______________________________________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_________．(2)每个基本事件出现的可能性_____．3．几何概型的概率公式P(A)＝_________________________________________构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例无限多个相等构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）要点一与长度有关的几何概型例1取一根长为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m的概率有多大？解如图所示．记“剪得两段绳长都不小于2m”为事件A.把绳子五等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的15，所以事件A发生的概率P(A)＝15.规律方法1.解答本题的关键是将基本事件的全部及其事件A包含的基本事件转化为相应的长度，进而求解．2．在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．跟踪演练1两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．解记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P(A)＝26＝13.要点二与面积有关的几何概型例2一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．解如图所示，区域Ω是长30m、宽20m的长方形．图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．规律方法解此类几何概型问题的关键是：(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．所以P(A)＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率约为0.31.跟踪演练2(2013·陕西高考)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()答案AA．1－π4B.π2－1C．2－π2D.π4解析由几何概型知所求的概率P＝S图形DEBFS矩形ABCD＝2×1－14×π×12×22×1＝1－π4.要点三与体积有关的几何概型例3一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．解依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P＝1333＝127.规律方法如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪演练3本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于13的概率．解到A点的距离小于13的点，在以A为球心，半径为13的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的A点的区域体积为43π×133×18.∴P＝43π×133×1833＝π2×37.1．下列关于几何概型的说法错误的是()A．几何概型也是古典概型中的一种B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性D．几何概型在一次试验中能出现的结果有无限个答案A解析几何概型与古典概型是两种不同的概型．2．(2013·南昌高一检测)面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()答案BA.13B.12C.14D.16解析向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝△ABD的面积△ABC的面积＝12.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域、在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为()A.43B.83C.23D．无法计算解析由几何概型的概率公式知S阴S正＝23，所以S阴＝23·S正＝83.答案B4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是()答案CA.112B.38C.116D.56解析由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝580＝116.5．在1000mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________．解析由几何概型知，P＝31000.答案310001．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.