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第九节函数模型及其应用考纲概述考查热点考查频次备考指导(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义;(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用一次函数与二次函数模型的应用★函数模型及应用在高考中多以实际问题为背景,设问新颖、灵活,问题一般涉及的知识较多、综合性较强,多以解答题为主,但也可能会在选择题与填空题中出现,难度中档为主,解决这类题的关键是:审清题、列好式、解答好、检验.分段函数模型★指数、对数函数模型的应用1.几种常见函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a0且a≠1,b≠0)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a0且a≠1,b≠0)幂函数模型f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)“对勾”函数模型f(x)=x+ax(a为常数,a0)2.三种函数模型的性质函数性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+∞)上的单调性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大,图象与y轴接近平行随x的增大,图象与x轴接近平行随n值变化而不同值的比较存在一个x0,当xx0时,有logaxxnax3.解函数应用问题的步骤其过程用框图表示为4.常用的数学方法与思想图象法、导数法、待定系数法、配方法,函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论.1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”).(1)函数y=2x的函数值在(0,+∞)上一定比y=x2的函数值大.()(1)×(2)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a1)增长速度会超过并远远大于y=xα(α0)的增长速度.()(2)√(3)指数函数、对数函数、幂函数在(0,+∞)的增长速度最快的是指数函数.()(3)√(4)在解决具体问题的选择模型中可以任意选择,不一定要依据题目条件特点,其结果都一样.()(4)×2.某学校开展电脑小制作活动,一组同学收集了下面的一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01A.y=2x-2B.y=12𝑥C.y=log2xD.y=12(x2-1)2.D【解析】直线是均匀的,故选项A不正确;指数函数y=12𝑥是单调递减的,也不符合要求;对数函数y=log2x的增长是缓缓地,也不符合题意;将表中的数据代入选项D中,基本符合.3.(2015·江西五校联考)设甲、乙两地的距离为a(a0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()3.D【解析】小王从出发到返回原地所经过的路程为2a,故选项A,C错误;又因为在乙地休息10分钟,所以此时间段内路程没有变化,观察图象B,D可知B错误,D正确.4.某文具店出售乒乓球拍与乒乓球,球拍每副定价20元,球每个定价5元,该店制定了两种优惠方法:①买一副球拍送一个乒乓球;②按总价的92%付款,现某人计划购买4副球拍和30个球,两种方法中,更省钱的一种是()A.不能确定B.①②同样省钱C.②更省钱D.①更省钱4.D【解析】方法①用款为4×20+26×5=210,方法②用款为(4×20+30×5)×92%=211.6,因为210211.6,故方法①更省钱一些.考点1基本初等函数模型的应用典例1(2015·连云港调研)某市对城市路网进行改造,拟在原有a个标段(注:一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上,新建x个标段和n个道路交叉口,其中n与x满足n=ax+5.已知新建一个标段的造价为m万元,新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式;(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%,且k≥3.问:P能否大于120,说明理由.【解题思路】(1)利用题意直接写出相应的函数;(2)利用函数的性质结合基本不等式进行求解或利用反证法思想证明.【参考答案】(1)依题得y=mkn=mk(ax+5),x∈N*.(2)解法1:依题有x=0.2a,所以P=𝑚𝑥𝑦=𝑥𝑘(𝑎𝑥+5)=0.2𝑎𝑘(0.2𝑎2+5)=𝑎𝑘(𝑎2+25).由题知k≥3,因此有P=𝑎𝑘(𝑎2+25)≤𝑎3(𝑎2+25)=13𝑎+25𝑎≤13×2𝑎×25𝑎=130≤120.即P不可能大于120.解法2:依题有x=0.2a,所以P=𝑚𝑥𝑦=𝑥𝑘(𝑎𝑥+5)=0.2𝑎𝑘(0.2𝑎2+5)=𝑎𝑘(𝑎2+25),假设P120,即有不等式P=𝑎𝑘(𝑎2+25)120,化简得ka2-20a+25k0,因为k≥3,所以Δ=400-100k2=100(4-k2)0,即不等式ka2-20a+25k0无解,故P不可能大于120.基本初等函数模型的求解技巧(1)根据题意正确建立基本初等函数(一次函数、二次函数、对数函数、指数函数等)模型,并写出相应的定义域;(2)利用基本初等函数的性质或不等式与求导方法求函数的解;(3)对于证明问题可采用直接证明或反证法.【变式训练】如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-120(1+k2)·x2(k0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.【解析】(1)令y=0,得kx-120(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x0,k0,故x=20𝑘1+𝑘2=20𝑘+1𝑘≤202=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a0,所以炮弹可击中目标⇔存在k0,使3.2=ka-120(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时,可击中目标.考点2分段函数模型的应用典例2(2015·泸州模拟)某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x(万元);当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10000𝑥-1450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?【解题思路】(1)先分0x80和x≥80两种情况,建立函数关系式,再建构分段函数;(2)由(1)中分段函数,分别求两段的最大值,比较可得结论.【参考答案】(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1000x万元,依题意得当0x80时,L(x)=(0.05×1000x)-13𝑥2−10𝑥−250=−13x2+40x-250;当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x-10000𝑥+1450−250=1200−𝑥+10000𝑥;所以L(x)=-13𝑥2+40𝑥-250(0𝑥80),1200-𝑥+10000𝑥(𝑥≥80).(2)当0x80时,L(x)=-13(x-60)2+950,此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950万元;当x≥80时,L(x)=1200-𝑥+10000𝑥≤1200-2𝑥·10000𝑥=1200-200=1000,即当x=10000𝑥,即x=100时,L(x)取得最大值1000万元.因为9501000,所以当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.处理分段函数应注意的三个问题(1)分段函数是由多段函数构成的,因此可以先将其当作几个问题,将各段的表达式求出,再将其合到一起,即得分段函数的表达式;(2)注意各段自变量的范围,特别是端点值;(3)求解过程中要记住其关键点是“分段函数分段求”,因此,要力求准确、简洁,做到分段合理不重不漏.【变式训练】(2015·孝感模拟)将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中,tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过mmin甲桶中的水只有𝑎4L,则m的值为()A.5B.8C.9D.10A【解析】依题有12𝑎=𝑎e5n即(en)5=12,解得en=125,当再过𝑚min甲桶中的水只有a4L时,又有关系式:14𝑎=𝑎en(m+5)即(en)m+5=14,则有14=(en)(m+5)=125𝑚+5,解得m=5,即选项A正确.模板解题策略:利用函数模型解应用题典例(2014·福建高考)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(单位:元).【解题思路】由于长方体的容积是4,高为1,所以底面积为4,设底面矩形的一边长为xm,则另一边长为4𝑥m,该容器的总造价为y元,则y=20×4+102𝑥+8𝑥≥160,当且仅当2x=8𝑥,即x=2时取等号,即该容器的最低总造价是160元.【参考答案】160函数模型解应用题的解题思路第一步:审题:分清条件与结论,理出数量关系,确定数学模型第二步:建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,建立相应的数学模型第三步:解模:求解数学模型,得出数学结论第四步:还原:将数学问题还原成实际问题的意义进行取舍【针对训练】(2015·江苏苏州中学期初考试)心理学家研究某位学生的学习情况发现:若这位学生刚学完的知识存留量记为1,则x天后的存留量y1=4𝑥+4;若在t(t4)天时进行第一次复习,则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍(复习时间忽略不计),其后存留量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分,其斜率为𝑎(𝑡+4)2(a0),存留量随时间变化的曲线如图所示.当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时,则称此时刻为“二次复习最佳时机点”.【解析】设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y,由题意知,y2=𝑎(𝑡+4)2(𝑥−𝑡)+8𝑡+4(t4),所以y=y2-y1=𝑎(𝑡+4)2(𝑥−𝑡)+8𝑡+4−4𝑥+4(t4).当a=-1,t=5时,y=-1(5+4)2(𝑥−5)+85+4−4𝑥+4=-(𝑥+4)81−4𝑥+4+1≤−2481+1=59,当且仅当x=14时取等号,所以“二次复习最佳时机点”为第14天.