平面向量综合讲义

平面向量综合讲义SYSU—荣珠海1平面向量综合讲义前言.......02近七年全国Ⅰ卷高考真题...06第1讲数量积基础........071.1平行（共线）........071.2垂直........071.3夹角........081.4模长........091.5投影........10第2讲平面向量基本定理........13第3讲最值（范围）........15第4讲等和线........18第5讲极化恒等式........20第6讲“五心问题”（奔驰定理）........22第7讲矩形的两个小性质........24第8讲向量与其他知识综合........25第9讲斜坐标系........26平面向量综合讲义SYSU—荣珠海2前言【高考命题规律】年份题号题型考查内容思想方法分值2011年理10选择题向量积与三角函数、不等式模平方5分文13填空题单位向量，向量垂直方程思想5分2012年理13填空题向量模长，夹角模平方5分文15填空题向量模长，夹角模平方5分2013年理13填空题向量垂直方程思想5分文13填空题向量垂直方程思想5分2014年理15填空题三点共线数形结合思想5分文6选择题平面向量基本定理数形结合思想5分2015年理7选择题平面向量基本定理数形结合思想5分文2选择题向量加减法数形结合思想5分2016年理13填空题模运算模平方5分文13填空题垂直方程思想5分2017年理13填空题模运算，平方模平方5分文13填空题垂直方程思想5分全国Ⅰ卷向量主要以客观题形式出现，属于基础题，解决此类问题一要准确记忆公式，二要准确运算。主要考察内容为向量的向量积运算以及坐标运算，涉及到模长问题牢记平方（后开方．．．）的思路，便能直捣黄龙，一举破题。另外，虽然这几年全国Ⅰ卷平面向量不涉及到较难知识以及能力考查，但是备考方面还是应当适当提高训练训练难度，如建系解决棘手数量积问题等，至于等和线、奔驰定理、极化恒等式等进阶知识则因人因地因时制宜。平面向量综合讲义SYSU—荣珠海3第4讲等和线“爪”字型图及性质：（1）已知,ABAC为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,xy，使得ADxAByAC。则,,BCD三点共线1xy当01xy，则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC之间当1xy，则D与A位于BC两侧1xy时，当0,0xy，则D在线段BC上；当0xy，则D在线段BC延长线上（2）已知D在线段BC上，且::BDCDmn，则nmADABACmnmn补充：例1：（2017全国Ⅲ卷理12）在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若APABAD，则的最大值为（）（A）3（B）22（C）5（D）2例2：在ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作一直线MN分别交,ABAC于点,MN，若,AMxABANyAC，则4xy的最小值是（）（A）94（B）2（C）3（D）1例3：（2017江苏12）如图,在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为,且tan7，OB与OC的夹角为45.若OCmOAnOB(,)mnR，则mn]例4：如图，在四边形ABCD中，E为AB边的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上任意一点，设ACDEAP，则的最小值是___________ACBOABCD平面向量综合讲义SYSU—荣珠海41、（2017江西南昌十所重点二模）已知数列na为等差数列，且满足32015BAaOBaOC，若ABACR，点O为直线BC外一点，则12017aa__________2、（2017全国高中联赛福建联赛）,,ABC为圆O上不同的三点，且120AOB，点C在劣弧AB内，若(,)OCOAOBR，则的取值范围为_____________3、（2017.04武汉调研）已知ABC的外接圆圆心为O，且60A，若),(RACABAO，则的最大值为4、（2017黑龙江哈师大附中三模）已知ABAC，ABAC，点M满足1AMtABtAC，若3BAM，则t的值为（）（A）32（B）21（C）312（D）3125、已知I为ABC的内心，7cos8A，若AIxAByAC，则xy的最大值为（）（A）12（B）34（C）45（D）566、已知I为ABC的内心，2,3,4ACBCAB，若AIxAByAC，则xy____7、已知O为锐角ABC的外心，60A，若AOxAByAC，则xy的最大值为______8、已知O为锐角ABC的外心，60A，若OAxOByOC，则2xy的最大值为______9、（2017浙江金华高三上期末考）设单位向量,ab的夹角为锐角，若对任意的(,){(,)1,0}xyxyxaybxy，都有8215xy，则ab的最小值为_________平面向量综合讲义SYSU—荣珠海5第5讲极化恒等式极化恒等式：221[()()]4ababab（1）平行四边形模式：2241DBACba（2）三角形模式：在右上图的三角形ABD中（M为BD的中点），因为AMAC2，所以2214abAMDB例1：（2017全国Ⅱ卷理12）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则)(PCPBPA的最小值是（）（A）2（B）23（C）34（D）1例2：已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PAPB的取值范围是__________例3：在ABC中,0P是边AB上一定点，满足014PBAB，且对于边AB上任一点P，恒有00PBPCPBPC。则()（A）90ABC（B）90BAC（C）ABAC（D）ACBC例4：如图，在平行四边形ABCD中，已知8AB，5AD，3CPPD，2BPAP，则ADAB的值是.例5：已知,AB是圆O：221xy的两个点，P是线段AB上的动点，当AOB的面积最大时，则2AOAPAP的最大值是________例6：（2017浙江绍兴二检）在ABC中,ACBC，0P是边AB上一定点，满足013PBAB，且对于边AB上任一点P，恒有00PBPCPBPC。则BCAC_________平面向量综合讲义SYSU—荣珠海61、（2017.12河北鸡泽一中月考）已知ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC的最小值是（A）2（B）32（C）3（D）62、（2017山西五校联考）在平行四边形ABCD中，3,4ABAD，则ACDB等于_______3、（2017江苏盐城一模）在ABC中，已知3,3ABC，则CACB的最大值为4、（2016全国高中联赛湖北联赛）已知MN是边长为26的等边ABC外接圆的一条动弦，4MN，P是ABC的边上动点，则MPPN的最大值为__________5、（2017四川雅安三诊）直线0axbyc与圆O：2216xy相交于两点M、N.若222cab，P为圆O上任意一点，则PMPN的取值范围是__________6、（2016石嘴山适应性考试）在ABCRt中，3CBCA，NM,是斜边AB上的两个动点，且2MN，则CNCM的取值范围为7、（2013浙江五校联盟二联）已知BA、是单位圆上的两点，O为圆心，且oAOB120，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足)10()1(OBOAOC，则CNCM的取值范围是（）（A）1,21（B）1,1（C）0,43（D）0,18、（2012浙江15）在ABC中，M是BC的中点，3,10AMBC，则ABAC____9、已知向量,ab的夹角为3，5ab，向量ca，cb的夹角为23，23ca，则ac的最大值为_____