线性代数在工程中的应用实例

第7章在科技及工程中的应用实例.........................................................................17.1由拉压杆组成的桁架结构...........................................................................................................17.2格型梯形滤波器系统函数的推导...............................................................................................17.3计算频谱用的DFT矩阵.............................................................................................................27.4显示器色彩制式转换问题...........................................................................................................47.5人员流动问题...............................................................................................................................57.6二氧化碳分子结构的振动频率...................................................................................................57.7二自由度机械振动.......................................................................................................................67.8FIR数字滤波器最优化设计[12]...................................................................................................87.9弹性梁的柔度矩阵.......................................................................................................................97.10用二次样条函数插值5个点...................................................................................................117.11飞行器三维空间运动的矩阵描述...........................................................................................127.12金融公司支付基金的流动.......................................................................................................147.13质谱图实验结果分析.............................................................................................................157.14用特征方程解Fibonacci数列问题.........................................................................................167.15简单线性规划问题...................................................................................................................18第2章时域中的离散信号和系统·1·1第7章在科技及工程中的应用实例7.1由拉压杆组成的桁架结构由13根拉压杆件组成的桁架结构，如图7-1所示，13个平衡方程已给出，它们来自6个中间节点，每个节点有x,y两个方向的平衡方程，还有一个整体结构的y方向平衡方程。现求其各杆所受的力。解：按照题给方程组改写成矩阵形式，令112211cos14/16^214^20.6585cos16/16^216^20.7071sin16/16^214^20.7526kkk列方程时假设各杆的受力均为拉力，其相应的方程组及化为矩阵后的形式为：22122634152121335718438910156935211721112123813211F+kF=0k100000000000-F+F=00-F=2000F+kF-kF=0kF+F+kF=-1000F+kF-F=0kF+F=-500F-kF-F=0F+kF=4000kF-F=0,kF+F=-500F+kF=2000F+kF=02123131322321000100000000010000000000-k001k00000000k010k00000000000-1001k000000000000k100000000-k-100010000000k00010000000000-1000k000000000000k100000000k000100000000000k0112345678910111213F0F0F2000F0F-1000F0F-500(7.1.1)0F4000F0F-500F2000F0F将它看作A*F=B，编成的程序为pla701，核心语句为给A,B赋值，再求F=A\B，结果为：F=[-7236;5117;2000;-6969;2812;5117;-4883;-3167;1883;6969;-6906;4383;4883]其中负号表示杆受的是压力。7.2格型梯形滤波器系统函数的推导使用计算机解题后，用矩阵模型几乎是最简便的数学方法了。这将给后续课的建模图7-1由拉压杆件组成的桁架结构图7-2三阶格型梯形滤波器的结构图第2章时域中的离散信号和系统·2·2和计算带来革命性的好处。例如要求出图7-2所示的滤波器的系统函数：先列出方程，令q=z-1，得到x1uk3x4;x2x1;x3k3x2x4;x4qx7;x5x2k2x8;x6x5;x7k2x6x8;x8qx11;x9x6k1x12;x10x9;x11k1x10x12;x12qx10;x13yC0x12C1x11C2x7C3x3这是一组含有13个变量的13个联立方程，用过去的手工方法一个一个消元，理论上是可行的，但它运算极其繁琐，可以预期，95%以上的师生恐怕一个小时也解不出来，而且做对的概率极低。用矩阵的思路和方法来解就完全不同，它不是通过消元来减少变量，而是想办法补上所有的零元素，把方程扩充为完整的矩阵形式：13421332447522865721234656789881196112109111101212101310111213---xukxxxxkxxxqxxxkxxxxkxxxqxxxkxxxxkxxxqxxxxxxxxxxxxxxx330,0,0,-,0,0,0,0,0,0,0,0,01,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,00,,0,1,0,0,0,kk20,0,0,0,0,00,0,0,0,0,0,q,0,0,0,0,0,00,1,0,0,0,0,0,-,0,0,0,0,00,0,0,k20,1,0,0,0,0,0,0,0,00,0,0,0,0,,0,1,0,0,0,0,00,0,0,0,0,0,0,0,0,0,q,0,k100,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,-,00,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,00,0,0,0,0,0,0,0,k132100,,0,1,00,0,0,0,0,0,0,0,0,q,0,0,00,0,C,0,0,0,C,0,0,0,C,C,0k123456789101112131000000000000xxxxxxxuxxxxxx,/X=QX+PUXU=inv(I-Q)*P看似把模型搞复杂了，其实计算却非常容易。程序pla703先对P，Q矩阵赋值，键入W=inv(I-Q)*P，马上就得出了系统函数。编程时要注意，本例虽然是数值计算，但计算的内容中带有z变换算子q=z-1，所以P，Q矩阵仍然必须用符号属性，对P，Q赋值时第一个元素必须取含q的算式。熟练后不必列出Q和P的矩阵形式，可以按其下标规律直接进行元素赋值。用以下参数：k0=1,k1=1/4,k2=1/2,k3=1/3,C0=-0.2,C1=0.8,C2=1.5,C3=1，编成了程序pla703。运行此程序就得到：3232132321(13)244942.930.8244942.930.8(13)81513248151324xqqqzzzWuqqqzzz用矩阵模型解信号流图的最大优点是一步到位，依靠计算机，既快速，又极易查错。7.3计算频谱用的DFT矩阵有限长序列x(n)(0≤n≤N-1)有N个样本值。它的傅里叶变换()Xk在频率区间（0≤ω＜2π）的N个等间隔分布的点ωk=2πk/N(0≤k≤N-1)上也有N个样本值。这两组有限长的序列之间可以用简单的关系联系起来：第2章时域中的离散信号和系统·3·31()()01NknNnkxnWkNX其中exp2/NWjN是一个相角2/N为的单位向量，也称为旋转因子。X(k)就称为x(n)的离散傅里叶变换(DFT)，也就是x(n)的频谱。用矩阵来表示,可写成:所以信号频谱的计算，可以简单地用一个矩阵乘法来完成。信号是N×1维数组，矩阵W称为DFT矩阵，它是N×N维的复数阵。把矩阵乘法看作一个变换，我们就可以把频谱计算看作信号从时域到频域的线性变换。这个矩阵运算可用下列几条MATLAB语句来实现，程序名为pla704。xn=input('xn=(长度为N的数组)'),N=length(xn);%输入数据n=[0:1:N-1];k=[0:1:N-1];%设定n和k的行向量WN=exp(-j*2*pi/N);%设定Wn因子nk=n'*k;%产生一个含nk值的N乘N维的整数矩阵WNnk=WN.^nk;%求出W矩阵Xk=xn*WNnk%求出离散傅里叶级数系数plot(k,Xk)%画出幅频特