2.3.2离散型随机变量的方差(一)

2.3.2离散型随机变量的方差（一）高二数学选修2-3一、复习回顾1、离散型随机变量的数学期望1122()iinnEXxpxpxpxp2、数学期望的性质()()EaXbaEXbP1xix2x······1p2pip······nxnpX数学期望是反映离散型随机变量的平均水平三、如果随机变量X服从两点分布为X10Pp1－p则()EXp四、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则()EXnp思考:要从两名同学中挑出一名,代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录,第一名同学击中目标靶的环数X1～B(10,0.8),第二名同学击中目标靶的环数X2=Y+4,其中Y～B(5,0.8).请问应该派哪名同学参加竞赛?分析:EX1=10X0.8=8EX2=EY+4=5X0.8+4=8这意味着两名同学的平均射击水平没有差异那么还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标来确定谁参加竞赛呢?研一研·问题探究、课堂更高效探究点一方差、标准差的概念及性质类比思考：某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7,8,6,8,6,5,8,10,7,5；乙运动员：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的．那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？研一研·问题探究、课堂更高效答x甲＝x乙＝7，利用样本的方差公式s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，求得：s2甲＝2.2，s2乙＝1.2.∴乙成绩较稳定，选乙参加比赛.(x1–x)2+(x2–x)2+…+(xn–x)2nS2=方差反映了这组数据的波动情况在一组数：x1，x2，…xn中，各数据的平均数为x，则这组数据的方差为：怎样定量刻画随机变量的稳定性呢?已知样本方差可以刻画样本数据的稳定性样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度.想法：能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢?离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：22211()()()()iinnDXxEXpxEXpxEXp则称为随机变量X的方差。niiipEXx12)(P1xix2x······1p2pip······nxnpX称()XDX为随机变量X的标准差。它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。研一研·问题探究、课堂更高效例1随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差．解抛掷骰子所得点数X的分布列为X123456P161616161616从而E(X)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5；D(X)＝(1－3.5)2×16＋(2－3.5)2×16＋(3－3.5)2×16＋(4－3.5)2×16＋(5－3.5)2×16＋(6－3.5)2×16≈2.92，DX≈1.71.研一研·问题探究、课堂更高效小结充分应用离散型随机变量的均值和方差的定义及性质来解题．在应用方差定义求解时，特别要注意，在(xi－E(X))2pi中，极易把(xi－E(X))2的平方漏掉，产生错误．研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1已知随机变量ξ的分布列为ξ01xP1213p若E(ξ)＝23.(1)求D(ξ)的值；(2)若η＝3ξ－2，求Dη的值．解∵12＋13＋p＝1，∴p＝16.又E(ξ)＝0×12＋1×13＋x×16＝23.∴x＝2.故(1)D(ξ)＝0－232×12＋1－232×13＋2－232×16＝1527＝59.(2)∵η＝3ξ－2，∴D(η)＝D(3ξ－2)＝9D(ξ)，∴Dη＝9Dξ＝5.2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求E(X)和D(X)。解：XcP1离散型随机变量X的分布列为：E(X)＝c×1＝cD(X)＝（c－c）2×1＝0记住几个常见公式DXabaXD2)()1(ppDXX服从两点分布，则若)1(),(~pnpDXpnBX，则若研一研·问题探究、课堂更高效例2在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．解用ξ表示小李击中目标的次数，η表示他的得分．则由题意知ξ～B(10,0.8)，η＝3ξ＋2.因为E(ξ)＝10×0.8＝8，D(ξ)＝10×0.8×0.2＝1.6，所以E(η)＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×8＋2＝26(分)，D(η)＝D(3ξ＋2)＝32×D(ξ)＝9×1.6＝14.4.小结解决本题的关键是建立二项分布模型，搞清随机变量的含义，利用公式简化解题过程．研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．解(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B(6，13)，∴E(ξ)＝6×13＝2，D(ξ)＝6×13×(1－13)＝43.(2)由已知η＝30ξ，∴E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1200.研一研·问题探究、课堂更高效例3有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？研一研·问题探究、课堂更高效解根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1)＝1200×0.4＋1400×0.3＋1600×0.2＋1800×0.1＝1400，D(X1)＝(1200－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1600－1400)2×0.2＋(1800－1400)2×0.1＝40000；E(X2)＝1000×0.4＋1400×0.3＋1800×0.2＋2200×0.1＝1400，D(X2)＝(1000－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1800－1400)2×0.2＋(2200－1400)2×0.1＝160000.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．研一研·问题探究、课堂更高效小结实际问题中，决策方案的最佳选择是将数学期望最大的方案作为最佳方案加以实施；如果各种方案的数学期望相同时，则应根据它们的方差来选择决策方案，至于选择哪一方案由实际情况而定．研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为ξ0123P0.30.30.20.2η012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．研一研·问题探究、课堂更高效解甲保护区违规次数ξ的数学期望和方差分别为E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数η的数学期望和方差分别为E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(ξ)＝E(η)，D(ξ)D(η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.练一练·当堂检测、目标达成落实处1．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)等于()A.158B.154C.52D．5A解析ξ～B10，14，∴D(ξ)＝10×14×1－14＝158.练一练·当堂检测、目标达成落实处2．设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为()A．2B．3C．4D．5C解析D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.练一练·当堂检测、目标达成落实处3．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.解析由题意知，－p1＋p3＝0.1，0.41.21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.0.10.5练一练·当堂检测、目标达成落实处4．已知X的分布列为X－101P121316(1)求E(X)，D(X)；(2)设Y＝2X＋3，求E(Y)，D(Y)．解(1)E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13；D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋(x3－E(X))2p3＝59；(2)E(Y)＝2E(X)＋3＝73，D(Y)＝4D(X)＝209.练一练·当堂检测、目标达成落实处1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散．2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).三、基础训练1、已知随机变量X的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求D(X)和σ(X)。21.042.034.022.011.00EX解：2.11.0)24(2.0)23(4.0)22(2.0)21(1.0)20(22222DX095.12.1DXX四、方差的应用例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2分布列如下：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解：9,921EXEX8.0,4.021DXDX表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8－10环。问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.49,921EXEX8.0,4.021DXDX练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：1400,140021EXEX