2019年秋四川省棠湖中学高三期末考试数学理科卷

2019年秋四川省棠湖中学高三期末考试数学（理）试题第I卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.集合{|22}Axx，Z为整数集，则AZ中元素的个数是（A）3（B）4（C）5（D）62.设i为虚数单位，则6()xi的展开式中含x4的项为（A）－15x4（B）15x4（C）－20ix4（D）20ix43.为了得到函数πsin(2)3yx的图象，只需把函数sin2yx的图象上所有的点（A）向左平行移动π3个单位长度（B）向右平行移动π3个单位长度（C）向左平行移动π6个单位长度（D）向右平行移动π6个单位长度4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.3125.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个6.设四边形ABCD为平行四边形，6AB，4AD.若点M，N满足3BMMC，2DNNC，则AMNM（A）20（B）15（C）9（D）67.若3cos()45，则sin2（A）725（B）15（C）15（D）7258.已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126dd，则双曲线的方程为(A)221412xy(B)221124xy(C)22139xy(D)22193xy9．已知函数e0()ln0xxfxxx，，，，()()gxfxxa．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是(A)[–1，0）(B)[0，+∞）(C)[–1，+∞）(D)[1，+∞）10.已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，3()1fxx；当11x时，()()fxfx；当12x时，11()()22fxfx.则f(6)=（）（A）−2（B）−1（C）0（D）211．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（A）334（B）233（C）324（D）3212.已知直线l是曲线xye与曲线2xye的一条公切线，l与曲线22xye切于点,ab，且a是函数fx的零点，则fx的解析式可能为（A）2(22ln21)1xfxex（B）2(22ln21)2xfxex（C）2(22ln21)1xfxex（D）2(22ln21)2xfxex第II卷（非选择题90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.12cos12sin22=.14.若,xy满足约束条件10040xxyxy，错误!未找到引用源。则yx错误!未找到引用源。的最大值为.15.若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln(1)yx的切线，则b．16.在底面是正方形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，点E为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且3PAAB，2AF，则四棱锥KABCD的外接球的表面积为．三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sincos()6bAaB.（I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和sin(2)AB的值.18.（本小题满分12分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD是平行四边，45ABC，2ADAP，22ABDP，E是CD中点，点F在线段PB上.（Ⅰ）证明：ADPC；（Ⅱ）试确定点F的位置，使直线EF与平面PDC所成角和直线EF与平面ABCD所成角相等.20.（本小题12分）已知抛物线C：y2=2px过点P(1，1).过点(0，12)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.21.（本小题12分）已知函数()4lnafxaxxx的两个极值点12,xx满足12xx，且23ex，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求21()()fxfx的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2ykx.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30.（1）求2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数11()||||22fxxx，M为不等式()2fx的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当,abM时，|||1|abab．2018年秋四川省棠湖中学高三期末考试数学（理）试题答案1.C2.A3.D4.A5.B6.C7.D8.C9.C10.D11.A12.B13.2314.315.1ln216.4862517.（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，又由πsincos()6bAaB，得πsincos()6aBaB，即πsincos()6BB，可得tan3B．又因为(0π)B，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos7bacacB，故b=7．由πsincos()6bAaB，可得3sin7A．因为ac，故2cos7A．因此43sin22sincos7AAA，21cos22cos17AA．所以，sin(2)sin2coscos2sinABABAB4311333727214．18.（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．1111(0)(1)(1)(1)2344PX，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424PX，1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344PX，1111(3)23424PX．所以，随机变量X的分布列为X0123P14112414124随机变量X的数学期望1111113()012342442412EX．（Ⅱ）设Y表示第1辆车遇到红灯的个数，Z表示第2辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)PYZPYZPYZPYPZ11111111(1)(0)42424448PYPZ．所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．19.解：（1）PAD△中222PAADPD，∴90PAD∴ADPA；连AC，ABC△中2222cos4ACABBCABBCABC∴222ACBCAB∴ACBC，∴ADAC平面PAC中，PAACA∴AD平面PAC∴ADPC（2）由（1）：PAAD，又侧面PAD底面ABCD于AD，∴PD底面ABCD，∴以A为原点，DA延长线、AC、AP分别为x、y、z轴建系；∴(000)A，，，(220)B，，，(020)C，，,(200)D，，，(110)E，，，(002)P，，∴(022)PC，，，(202)PD，，，(222)PB，，，设PFPB，（[01]，），则(222)PF，，(2222)F，，，(212122)EFL，，设平面PCD的一个法向量()mxyz，，，则00mPCmPD，可得(111)m，，又平面ABCD的一个法向量(001)n，，由题：coscosEFmEFn，，，即2223EFEF解得：332（注：BFBP时，解得312）20.（Ⅰ）由抛物线C：22ypx过点P(1，1)，得12p.所以抛物线C的方程为2yx.抛物线C的焦点坐标为(14，0)，准线方程为14x.因为21122112112222yxyxyxxxyxxx122112211()()222kxxkxxxxx122121(22)()2kxxxxx22211(22)42kkkkx0，所以211122yxyxx.故A为线段BM的中点.21.解：（Ⅰ）22244()aaxxafxaxxx，由题意知12xx，即为方程240axxa的两个根.由韦达定理：121241xxaxx，整理得221222244411xaxxxxx.又221yxx在,3e上单调递增，∴246,)15eae（.（Ⅱ）2122()()afxfxaxx22114ln4lnaxaxxx，∵121xx，∴2122()()afxfxaxx222214ln4lnaxaxxx22212()8lnaxxx，由（Ⅰ）知22241xax，代入得221228()()1xfxfxx2221()8lnxxx222228(1)8ln1xxx，令222(,9)txe，于是可得88()4ln1thttt，故2164()(1)httt22224(21)4(1)0(1)(1)ttttttt∴()ht在2(,9)e上单调递减，∴2123216()()(8ln3,)51fxfxe.22．（1）由cosx，siny得2C的直角坐标方程为22(1)4xy．（2）由（1）知2C是圆心为(1,0)A，半径为2的圆．由题设知，1C是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为1l，y轴左边的射线为2l．由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点．当1l与2C只有一个公共点时，A到1l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故43k或0k．经检验，当0k时，1l与2C没有公共点；当43k时，1l与2C只有一个公共点，2l与2C有两个公共点．当2l与2C只有一个公共点时，A到2l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故0k或43k．经检验，当0k时，1l与2C没有公共点；当43k时，2l与2C没有公共点．综上，所求1C的方程为4||23yx．23.（I12,,211()1,,2212,.2xxfxxxx当12x时，由()2fx得22,x解得1x；当1122x时，()2fx；当12x时，由()2fx得22,x解得1x.所以()2fx的解集{|11}Mxx.