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百度hrbjgd1第一章函数、极限和连续§1.1函数一、主要内容㈠函数的概念1.函数的定义:y=f(x),x∈D定义域:D(f),值域:Z(f).2.分段函数:⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧∈∈∈∈∈∈∈∈====22221111))))(((())))((((DDDDxxxxxxxxggggDDDDxxxxxxxxffffyyyy3.隐函数:F(x,y)=04.反函数:y=f(x)→x=φ(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性1.函数的单调性:y=f(x),x∈D,x1、x2∈D当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D内单调增加()；若f(x1)≥f(x2),则称f(x)在D内单调减少()；若f(x1)＜f(x2),百度hrbjgd2则称f(x)在D内严格单调增加()；若f(x1)＞f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少()。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x),x∈(-∞，+∞)周期：T——最小的正数4.函数的有界性：|f(x)|≤M,x∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数：y=c，(c为常数)2.幂函数：y=xn,(n为实数)3.指数函数：y=ax,(a＞0、a≠1)4.对数函数：y=logax,(a＞0、a≠1)5.三角函数：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx6.反三角函数：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx㈣复合函数和初等函数百度hrbjgd31.复合函数：y=f(u),u=φ(x)y=f[φ(x)],x∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2极限一、主要内容㈠极限的概念1.1.1.1.数列的极限:Aynn=∞→lim称数列{}ny以常数A为极限;或称数列{}ny收敛于A.定理:若{}ny的极限存在⇒{}ny必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x时，)(xf的极限：AxfAxfAxfxxx=⇔⎟⎟⎠⎞==∞→+∞→−∞→)(lim)(lim)(lim百度hrbjgd4⑵当0xx→时，)(xf的极限：Axfxx=→)(lim0左极限：Axfxx=−→)(lim0右极限：Axfxx=+→)(lim0⑶函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxfxxxxxx==⇔=+−→→→)(lim)(lim)(lim000㈡无穷大量和无穷小量1．．．．无穷大量：+∞=)(limxf称在该变化过程中)(xf为无穷大量。X再某个变化过程是指：,,,∞→+∞→−∞→xxx000,,xxxxxx→→→+−2．．．．无穷小量：0)(lim=xf称在该变化过程中)(xf为无穷小量。3．．．．无穷大量与无穷小量的关系：百度hrbjgd5定理：)0)((,)(1lim0)(lim≠+∞=⇔=xfxfxf4．．．．无穷小量的比较：0lim,0lim==βα⑴若0lim=αβ,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若c=αβlim（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；⑶若1lim=αβ，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；⑷若∞=αβlim,则称β是比α较低阶的无穷小量。定理：若：；，2211~~βαβα则：2121limlimββαα=㈢两面夹定理1．数列极限存在的判定准则：设：nnnzxy≤≤（n=1、2、3…）百度hrbjgd6且：azynnnn==∞→∞→limlim则：axnn=∞→lim2．函数极限存在的判定准则：设：对于点x0的某个邻域内的一切点（点x0除外）有：)()()(xhxfxg≤≤且：Axhxgxxxx==→→)(lim)(lim00则：Axfxx=→)(lim0㈣极限的运算规则若：BxvAxu==)(lim,)(lim则：①BAxvxuxvxu±=±=±)(lim)(lim)]()(lim[②BAxvxuxvxu⋅=⋅=⋅)(lim)(lim)]()(lim[③BAxvxuxvxu==)(lim)(lim)()(lim)0)((lim≠xv推论：①)]()()(lim[21xuxuxun±±±⋯)(lim)(lim)(lim21xuxuxun±±±=⋯百度hrbjgd7②)(lim)](lim[xucxuc⋅=⋅③nnxuxu)]([lim)](lim[=㈤两个重要极限1．1sinlim0=→xxx或1)()(sinlim0)(=→xxxϕϕϕ2．exxx=+∞→)11(limexxx=+→10)1(lim§1.3连续一、主要内容㈠函数的连续性1.函数在0x处连续：)(xf在0x的邻域内有定义，1o0)]()([limlim0000=−∆+=∆→∆→∆xfxxfyxx2o)()(lim00xfxfxx=→左连续：)()(lim00xfxfxx=−→右连续：)()(lim00xfxfxx=+→2.函数在0x处连续的必要条件：百度hrbjgd8定理：)(xf在0x处连续⇒)(xf在0x处极限存在3.函数在0x处连续的充要条件：定理：)()(lim)(lim)()(lim00000xfxfxfxfxfxxxxxx==⇔=+−→→→4.函数在[]ba,上连续：)(xf在[]ba,上每一点都连续。在端点a和b连续是指：)()(limafxfax=+→左端点右连续；)()(limbfxfbx=−→右端点左连续。a+0b-x5.函数的间断点：若)(xf在0x处不连续，则0x为)(xf的间断点。间断点有三种情况：1o在0x处无定义；2o)(lim0xfxx→不存在；百度hrbjgd93o在0x处有定义，且)(lim0xfxx→存在，但)()(lim00xfxfxx≠→。两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点：)(lim0xfxx−→和)(lim0xfxx+→都存在。可去间断点：)(lim0xfxx→存在，但)()(lim00xfxfxx≠→，或在0x处无定义。2o第二类间断点：特点：)(lim0xfxx−→和)(lim0xfxx+→至少有一个为∞，或)(lim0xfxx→振荡不存在。无穷间断点：)(lim0xfxx−→和)(lim0xfxx+→至少有一个为∞㈡函数在0x处连续的性质1.连续函数的四则运算：设)()(lim00xfxfxx=→，)()(lim00xgxgxx=→百度hrbjgd101o)()()]()([lim000xgxfxgxfxx±=±→2o)()()]()([lim000xgxfxgxfxx⋅=⋅→3o)()()()(lim000xgxfxgxfxx=→⎟⎠⎞⎜⎝⎛≠→0)(lim0xgxx2.复合函数的连续性：)]([),(),(xfyxuufyϕϕ===)]([)(lim),()(lim0)(000xfufxxxuxxϕϕϕϕ==→→则：)]([)](lim[)]([lim000xfxfxfxxxxϕϕϕ==→→3.反函数的连续性：)(),(),(001xfyxfxxfy===−)()(lim)()(lim011000yfyfxfxfyyxx−−→→=⇔=㈢函数在],[ba上连续的性质1.最大值与最小值定理：)(xf在],[ba上连续⇒)(xf在],[ba上一定存在最大值与最小值。yy+MM百度hrbjgd11f(x)f(x)0abxm-M0abx2.2.2.2.有界定理：)(xf在],[ba上连续⇒)(xf在],[ba上一定有界。3.介值定理：)(xf在],[ba上连续⇒在),(ba内至少存在一点ξ，使得：cf=)(ξ，其中：Mcm≤≤yyMf(x)Cf(x)百度hrbjgd120aξbxm0aξ1ξ2bx推论：)(xf在],[ba上连续，且)(af与)(bf异号⇒在),(ba内至少存在一点ξ，使得：0)(=ξf。4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章一元函数微分学§2.1导数与微分一、主要内容㈠导数的概念1．导数：))))((((xxxxffffyyyy====在0000xxxx的某个邻域内有定义，百度hrbjgd13xxxxxxxxffffxxxxxxxxffffxxxxyyyyxxxxxxxx∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆++++====∆∆∆∆∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆))))(((())))((((limlimlimlimlimlimlimlim000000000000000000000000))))(((())))((((limlimlimlim0000xxxxxxxxxxxxffffxxxxffffxxxxxxxx−−−−−−−−====→→→→00000000))))((((0000xxxxxxxxxxxxxxxxdxdxdxdxdydydydyxxxxffffyyyy============′′′′====′′′′2．左导数：000000000000))))(((())))((((limlimlimlim))))((((0000xxxxxxxxxxxxffffxxxxffffxxxxffffxxxxxxxx−−−−−−−−====′′′′−−−−→→→→−−−−右导数：000000000000))))(((())))((((limlimlimlim))))((((0000xxxxxxxxxxxxffffxxxxffffxxxxffffxxxxxxxx−−−−−−−−====′′′′++++→→→→++++定理：))))((((xxxxffff在0000xxxx的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则：))))((((limlimlimlim))))((((00000000xxxxffffxxxxffffxxxxxxxx′′′′====′′′′−−−−→→→→−−−−（或：))))((((limlimlimlim))))((((00000000xxxxffffxxxxffffxxxxxxxx′′′′====′′′′++++→→→→++++）3.函数可导的必要条件：定理：))))((((xxxxffff在0000xxxx处可导⇒⇒⇒⇒))))((((xxxxffff在0000xxxx处连续百度hrbjgd144.函数可导的充要条件：定理：))))((((00000000xxxxffffyyyyxxxxxxxx′′′′====′′′′====存在))))(((())))((((00000000xxxxffffxxxxffff++++−−−−′′′′====′′′′⇒⇒⇒⇒，且存在。5.导函数：),),),),((((xxxxffffyyyy′′′′====′′′′)))),,,,((((bbbbaaaaxxxx∈∈∈∈))))((((xxxxffff在)))),,,,((((bbbbaaaa内处处可导。y)(0xf′)(xf6.导数的几何性质：y∆))))((((0000xxxxffff′′′′是曲线))))((((xxxxffffyyyy====上点x∆(((())))00000000,,,,yyyyxxxxMMMM处切线的斜率。ox0x㈡求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算：1ovvvvuuuuvvvvuuuu′′′′±±±±′′′′====′′′′±±±±))))（2ovvvvuuuuvvvvuuuuvvvvuuuu′′′′⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅′′′′====′′′′⋅⋅⋅⋅))))（3o2222vvvvvvvvuuuuvvvvuuuuvvvvuuuu′′′′⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅′′′′====′′′′⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛))))0000((((≠≠≠≠vvvv3.复合函数的导数：)])])])](((([