2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(理工类)

数学（理工类）试题第1页（共9页）绝密★启用并使用完毕前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。命题人：雅安中学黄潘第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。第Ⅰ卷共10小题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1．已知集合2{|230}Axxx,2{|log2}Bxx，则AB（A）(1,4)（B）(1,3)（C）(0,3)（D）(0,4)2．若复数3i(R,i12iaa为虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为（A）6（B）2（C）4（D）63．函数2cos(2)2yx是（A）最小正周期为的奇函数（B）最小正周期为的偶函数（C）最小正周期为2的奇函数（D）最小正周期为2的偶函数4．等差数列{}na中，已知112a，130S，则使得0na的最小正整数n为（A）7（B）8（C）9（D）105．直线0xym与圆22210xyx有两个不同交点的一个充分不必要条件是（A）31m（B）42m（C）1m（D）01m6．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，要求1不在首位，3不在百位的五位数共有（A）72个（B）78个（C）96个（D）54个7．定义某种运算，ab的运算原理如右框图所示，设1Sx，[2,2]x，则输出的S的最大值与最小值的差为（A）2（B）1Sa是否S输出结束?ab||Sb开始,ab输入数学（理工类）试题第2页（共9页）（C）4（D）38．下列命题:①若直线l上有无数个点不在平面内,则l∥；②若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都平行；[来源:学科网]③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行；④若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都没有公共点．其中正确的个数是（A）1（B）2（C）3（D）49．已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上任意一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，||4PF，则直线AF的倾斜角等于（A）712（B）23（C）34（D）5610．已知函数()fx对定义域R内的任意x都有()(4)fxfx，且当2x时，其导函数()fx满足()2()xfxfx，若24a，则（A）2(2)(3)(log)afffa（B）2(3)(log)(2)affaf（C）2(log)(3)(2)afaff（D）2(log)(2)(3)afaff第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用黑色签字笔或钢笔在答题卡上作答。第Ⅱ卷分为填空题和解答题。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案书写在答题卡对应题号的横线上。11．二项式52(1)x的展开式中第四项的系数为．12．一个几何体的三视图如右图所示，其中网格纸上的小正方形的边长为1，则该几何体的体积为．13．点(,)Pxy在不等式组031xxyyx表示的平面区域内，若点(,)Pxy到直线1(0)ykxk的最大距离为22，则实数k．数学（理工类）试题第3页（共9页）14．ABC的外接圆半径为1，圆心为O,且3450OAOBOC，则OCAB的值为．15．已知函数()lnfxxx，且120xx，给出下列命题：①1212()()1fxfxxx；②1221()()fxxfxx；③2112()()xfxxfx；④当1ln1x时，112221()()2()xfxxfxxfx．其中所有真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分，将答案书写在答题卡对应题号的方框内，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）已知{}na为等比数列，其中11a，且2354,,aaaa成等差数列．(Ⅰ)求数列{}na的通项公式；(Ⅱ)设nnanb)12(,求数列{}nb的前n项和nT．17．（本小题满分12分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(Ⅰ)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(Ⅱ)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望EX．18．（本小题满分12分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为min/50m，在甲出发min2后，乙从A乘缆车到B，在B处停留min1后，再从匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为数学（理工类）试题第4页（共9页）min/130m，山路AC长为m1260，经测量，1312cosA，53cosC．(Ⅰ)求索道AB的长；(Ⅱ)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(Ⅲ)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．(Ⅰ)求证：AA1⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值；(Ⅲ)证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求1BDBC的值．20．（本小题满分13分）已知椭圆C的两个焦点分别为1(10)F，、2(10)F，，短轴的两个端点分别为12BB、．(Ⅰ)若112FBB为等边三角形，求椭圆C的方程；(Ⅱ)若椭圆C的短轴长为2，过点2F的直线l与椭圆C相交于PQ、两点，且11FPFQ，求直线l的方程．21．(本小题满分14分)已知函数()fx=2xaxb，()gx=()xecxd，若曲线()yfx和曲线()ygx都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线42yx．(Ⅰ)求a,b,c,d的值；(Ⅱ)若x≥-2时，()fx≤()kgx，求k的取值范围．CBA数学（理工类）试题第5页（共9页）绝密★启用并使用完毕前2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学模拟试题（理工类）参考答案CDABDBAABC11.80.12.2503.13.1.14.15.15.③④.数学（理工类）试题第6页（共9页）【答案】解:(1)∵1312cosA,53cosC∴），（、20CA∴135sinA,54sinC∴6563sincoscossinsinsinsinCACACACAB）（）（根据sinBsinCACAB得mCACAB1040sinsinB(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222ttttd∴)507037(20022ttd∵13010400t即80t∴3735t时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由正弦定理sinBsinAACBC得50013565631260sinsinBAACBC(m)乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C设乙的步行速度为Vmin/m,则350710500v∴3507105003v∴14625431250v∴为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在14625,431250范围内【答案】解:(I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.数学（理工类）试题第7页（共9页）(II)由(I)知AA1⊥AC,AA1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),设平面A1BC1的法向量为,,)xyzn=(,则11100ABACnn,即34040yzx,令3z,则0x,4y,所以(0,4,3)n=.同理可得,平面BB1C1的法向量为(3,4,0)m=,所以16cos25nmn,m|n||m|.由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为1625.(III)设D(,,)xyz是直线BC1上一点,且1BDBC.所以(,3,)(4,3,4)xyz.解得4x,33y,4z.所以(4,33,4)AD.由1·0ADAB,即9250.解得925.因为9[0,1]25,所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,1925BDBC.【答案】[解](1)设椭圆C的方程为22221(0)xyabab.根据题意知2221abab,解得243a,213b故椭圆C的方程为2214133xy.(2)容易求得椭圆C的方程为2212xy.当直线l的斜率不存在时,其方程为1x,不符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为(1)ykx.数学（理工类）试题第8页（共9页）由22(1)12ykxxy得2222(21)42(1)0kxkxk.设1122()()PxyQxy，，，,则2212121111222242(1)(1)(1)2121kkxxxxFPxyFQxykk，，，，，因为11FPFQ,所以110FPFQ,即21212121212(1)(1)()1(1)(1)xxyyxxxxkxx2221212(1)(1)()1kxxkxxk2271021kk,解得217k,即77k.故直线l的方程为710xy或710xy.21【答案】(Ⅰ)由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4fgfg,而()fx=2xb,()gx=()xecxdc,∴a=4,b=2,c=2,d=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2()42fxxx,()2(1)xgxex,设函数()Fx=()()kgxfx=22(1)42xkexxx(2x),()Fx=2(2)24xkexx=2(2)(1)xxke,有题设可得(0)F≥0,即1k,令()Fx=0得,1x=lnk,2x=-2,(1)若21ke,则-21x≤0,∴当1(2,)xx时,()Fx0,当1(,)xx时,()Fx0,即()Fx在1(2,)x单调递减,在1(,)x单调递增,故()Fx在x=1x取最小值1()Fx,1()Fx=21112242xxx=11(2)xx≥0,∴当x≥-2时,()Fx≥0,即()fx≤()kgx恒成立,(2)若2ke,则()Fx=222(2)()xexee,∴当x≥-2时,()Fx≥0,∴()Fx在(-2,+∞)单调递增,而(2)F=0,∴当x≥-2时,()Fx≥0,即()fx≤()kgx恒成立,数学（理工类）试题第9页（共9页）(3)若2ke,则(2)F=2