双流棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学(理)试题

双流棠湖中学高2020届一诊模拟考试理科数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．复数2zi，其中i是虚数单位，则=zA．5B．1C．3D．52．设集合2,1,0,1,2M，220Nxxx，则MNA．2,1B．1,0C．0,1D．1,23．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为A．23B．43C．83D．34．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a的值是A．1B．12C．1D．25．在△ABC中，6B，c=4，53cosC，则b=A．33B．3C．32D．436．设,ab是非零向量，则“存在实数，使得ab”是“abab”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知直线l过抛物线28yx的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C.若点F是AC的中点，则线段BC的长为A．83B．3C．163D．68．五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革：庆祝改革开放40周年大型展览”，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有A．36种B．48种C．72种D．120种9．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A.125B．340C．18D．3510．在正方体1111ABCDABCD中，动点E在棱1BB上，动点F在线段11AC上，O为底面ABCD的中心，若1,BExAFy，则四面体OAEF的体积A．与,xy都有关B．与,xy都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关11．已知数列{}na满足：1aa，11()2nnnaanaN，则下列关于{}na的判断正确的是A．0,2,an≥使得2naB．0,2,an≥使得1nnaaC．0,,amN总有()mnaamnD．0,,amN总有mnnaa12．已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且满足2(01),2()1(1)xxxxfxxxe，若函数()()Fxfxm有6个零点，则实数m的取值范围是A．211(,)16eB．211(,0)(0,)16eC．210,eD．21[0,)e二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．若实数,xy满足1000xyxyx，则2zxy的最大值是.14．双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程为2yx，则离心率等于.15．在6(2)x的展开式中，2x的系数是.（用数字作答）16．已知平面内两个定点(3,0)M和点(3,0)N，P是动点，且直线PM,PN的斜率乘积为常数(0)aa，设点P的轨迹为C.①存在常数(0)aa，使C上所有点到两点(4,0),(4,0)距离之和为定值；②存在常数(0)aa，使C上所有点到两点(0,4),(0,4)距离之和为定值；③不存在常数(0)aa，使C上所有点到两点(4,0),(4,0)距离差的绝对值为定值；④不存在常数(0)aa，使C上所有点到两点(0,4),(0,4)距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是.（填出所有正确命题的序号）三、解答题（共70分）17．已知ABC中，4A，3cos5B，8AC.（Ⅰ）求ABC的面积；（Ⅱ）求AB边上的中线CD的长.18．（12分）为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治.某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分m都在区间[70,95].已知评估综合得分与产品等级如下表：根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表和乙型号的样本频率分布直方图（图表如下）.甲型乙型（Ⅰ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为二级品的概率；（Ⅱ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取3件，设随机变量X为其中二级品的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较.19．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD平ABCD,2AB,1BC，2PCPD，E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；（Ⅱ）求二面角EACD的余弦值；（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使得AMBD？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆C的两个焦点分别为121,0,1,0FF，长轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点0,1的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点M满足0MAMBMO，求证：由点M构成的曲线L关于直线13y对称．21．（12分）已知函数()ln1fxxxaxa.（Ⅰ）求证：对任意实数a，都有min[()]1fx；（Ⅱ）若2a，是否存在整数k，使得在(2,)x上，恒有()(1)21fxkxk成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由.（2.71828e）22．已知直线l：11232xtyt(t为参数),曲线1:xcosCysin(为参数)．（Ⅰ）设l与C1相交于AB两点,求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的12倍,纵坐标压缩为原来的32倍,得到曲线2C,设点P是曲线2C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值．23．已知函数()21(0)fxxxmm.（Ⅰ）当2m时，求不等式()1fx的解集；（Ⅱ）令()()2gxfx，()gx的图象与两坐标轴的交点分别为A，B，C，若三角形ABC的面积为12，求m得值.四川省棠湖中学高2020届一诊模拟考试理科数学试题参考答案1．A2．C3．C4．A5．B6．B7．C8．C9．B10．B11．D12．C13．214．515．6016．②④17．解：（1）3cos,5B且(0,)B，∴24sin1cos5BB．sinsin()sin()CABAB232472sincoscossin252510ABAB在ABC中，由正弦定理得sinsinACABBC，即8472510AB，解得72AB．所以ABC的面积为112sin72828222SABACA（2）在ACD中，722AD，所以由余弦定理得22272722658()282222CD，所以1302CD．18．（Ⅰ）设“从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，这件产品为二级品”为事件A由图可得()(0.020.03)50.25PA（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3003313270()()4464PXC，112313271()()4464PXC22131392()()4464PXC，33031313()()4464PXC所以X的分布列为X0123P27642764964方法一：27279130123646464644EX方法二：X服从二项分布(3,0.25)XB所以()30.250.75EXnp（Ⅲ）答案不唯一，只要有数据支撑，言之有理可得分（下面给出两种参考答案）1可根据三级品率进行比较，由图表可知甲型产品三等品概率为0，乙型三等品概率0.05.所以可以认为甲型产品的质量更好；2可根据一级品率进行比较，由图表可知甲型产品一等品概率为0.6，乙型一等品概率为0.7.所以可以认为乙型产品的质量更好；19．（I）设BD交AC于点F，连结EF.因为底面ABCD是矩形,所以F为BD中点.又因为E为PB中点,所以EF∥PD.因为PD平面,ACEEF平面ACE,所以PD∥平面ACE（II）取CD的中点O，连结PO，FO.因为底面ABCD为矩形,所以BCCD.因为PCPD，OCD为中点,所以,POCDOF∥BC，所以OFCD.又因为平面PCD⊥平面ABCD,PO平面,PCD平面PCD∩平面ABCD=CD.所以PO⊥平面ABCD，如图，建立空间直角坐标系Oxyz,则111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222ACBPE，,，设平面ACE的法向量为(,,)mxyz，131(1,2,0),(,,)222ACAE所以20,2,0,131.00222xyxyACmzyxyzAEm令1y，则2,1xz，所以2,11m（，）.平面ACD的法向量为(0,0,1)OP，则6cos,6mOPmOPmOP||.如图可知二面角EACD为钝角，所以二面角EACD的余弦值为66（Ⅲ）在棱PD上存在点M,使AMBD.设([0,1]),(,,)PMMxyzPD,则,01,0PMPDD（，）.因为(,,1)(0,1,1)xyz,所以(0,,1)M.(1,1,1),(1,2,0)AMBD.因为AMBD,所以0AMBD.所以121=0（），解得1=[0,1]2.所以在棱PD上存在点M,使AMBD，且12PMPD.20．（Ⅰ）由已知，得3,1ac，所以1333cea，又222abc，所以2b所以椭圆C的标准方程为22132xy，离心率33e.（Ⅱ）设11,Axy，22,Bxy，,mmMxy，①直线l与x轴垂直时，点,AB的坐标分别为0,2，0,2．因为0,2mmMAxy，0,2mmMBxy，0,0mmMOxy，所以3,30mmMAMBMCxyuuuruuuruuurr．所以0,0mmxy，即点M与原点重合;②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为1ykx，由221321xyykx得2232630kxkx，22236123272240kkk．所以122632kxxk.，则1224032yyk，因为11,mmMAxxyy，22,mmMBxxyy，,mmMOxy，所以121203,030mmMAMBMOxxxyyyuuuruuuruuurr．所以123mxxx，123myyy．2232mkxk，243032myk，消去k得2223200mmmmxyyy．综上，点M构成的曲线L的方程为222320xyy对于曲线L的任意一点,Mxy，它关于直线13y的对称点为2,3Mxy．把2,3Mxy的坐标代入曲线L的方程的左端：2222222244232243223203333xyyxyyyxyy．所以点M也在曲线L上．所以由点M构成的曲线L关于直线13y对称.21．解：（1）证明：由已知易得()(1)ln1fxaxxx，所以()1lnfxax令()1ln0fxax得：(1)axe显然，(1)(0,)axe时，()fx0，函数f（x）单调递减；(1)(,)axe时，()fx0，函数f（x）单调递增所以min[()]fx(1)(1)()1aafeae