通州区2017—2018学年度高三摸底考试

高三数学（理）摸底试卷第1页（共4页）开始输入x0x？21yx1yx是否输出y结束通州区2017—2018学年度高三摸底考试数学（理）试卷2018年1月本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合2|20AxxxZ，集合1,0,1B，那么AB等于A．1B．0,1C．0,1,2D．1,0,1,22．已知点222P，为抛物线22ypx上一点，那么点P到抛物线准线的距离是A．2B．22C．3D．43．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y的值是1，那么输入x的值是A．2或2B．2或2C．2或2D．2或24．已知aR，那么“直线1yax与42yax垂直”是“12a”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知数列na是公差不为0的等差数列，11a，且1a，2a，5a成等比数列，那么数列na的前10项和10S等于A．90B．100C．10或90D．10或1006．已知a，bR，0ab，则下列不等式一定成立的是A.11abB.tantanabC.22loglogabD.22baab7．已知点2,1A，点),(yxP满足线性约束条件20,10,24,xyxyO为坐标原点，那么OPOA的最小值是A.11B.0C.1D.5高三数学（理）摸底试卷第2页（共4页）8．如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABCABC，M，N分别为线段1AB，1BC上的动点，若点M，N所在直线与平面11ACCA不相交，点Q为MN中点，则Q点的轨迹的长度是A．22B．32C．1D．2第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9．已知复数2iia的实部与虚部相等，那么实数a_______.10．二项式612xx的展开式中的常数项是_______.11．在极坐标系中，已知点A是以2,6为圆心，1为半径的圆上的点，那么点A到极点的最大距离是_______.12．已知点P的坐标是43,1，将OP绕坐标原点O顺时针旋转3至OQ，那么点Q的横坐标是_______.13．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．已知小正方形网格的边长为1，那么该四面体的四个面中，面积最大的面的面积是_______.14．已知函数222xaxfxaxx≥‚‚‚无零点，那么实数a的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本题满分13分）已知函数π2sincossin22fxxxx.（Ⅰ）求fx的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求fx在区间π02，上的最大值和最小值．16．（本题满分13分）某次有600人参加的数学测试，其成绩的频数分布表如图所示，规定85分及其以上为优秀.区间[75，80)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100]NMC1B1A1CBA高三数学（理）摸底试卷第3页（共4页）人数3611424415650（Ⅰ）现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的20名学生中，要随机选取2名学生参加活动，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望.17．（本题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，1AA平面ABCD,底面ABCD为梯形，//ADBC，2ABDC，1122ADAABC，点P，Q分别为11AD，AD的中点.（Ⅰ）求证：//CQ平面1PAC；（Ⅱ）求二面角1CAPD的余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点E，使PE与平面1PAC所成角的正弦值是21421，若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由.18．（本题满分13分）已知椭圆222210xyabab过点0,1，离心率22e.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点,0Pm，过点1,0作斜率为0kk直线l，与椭圆交于M，N两点，若x轴平分MPN，求m的值．19．（本题满分13分）已知函数()lnxafxx，aR.（Ⅰ）当0a时，求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）对任意的1,x，fxx恒成立，求a的取值范围.20．（本题满分14分）已知等差数列na的首项为a，公差为b，等比数列nb的首项为b，公比为a.（Ⅰ）若数列na的前n项和23nSnn，求a，b的值；QPD1C1B1A1DCBA高三数学（理）摸底试卷第4页（共4页）（Ⅱ）若aN，bN，且223ababa.（i）求a的值；（ii）对于数列na和nb，满足关系式nmbka=+，k为常数，且kN，求b的最大值.高三数学（理科）摸底考试参考答案2018.1一、选择题题号12345678答案DCABBDCB二、填空题9．210.16011.312.53213.1214.,40,2三、解答题15.解：（Ⅰ）因为()2sincoscos2fxxxxsin2cos2xx2sin2+4x．……………………4分所以fx的最小正周期2.2T……………………5分由222242kxk，得3.88kxk所以fx的单调递增区间是3,.88kkkZ，……………………7分（Ⅱ）因为0,2x，所以52+,444x.所以当242x，即8x时，函数)(xf取得最大值是2.当5244x，即2x时，函数)(xf取得最小值52sin1.4．所以fx在区间π02，上的最大值和最小值分别为2和1．……………………13分16.解：（Ⅰ）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则2441565020600x，解得15x.所以其中成绩为优秀的学生人数为15.……………………5分（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有取值为0，1，2.高三数学（理）摸底试卷第5页（共4页）252201(0)19CPXC，1151522015(1)38CCPXC，21522021(2)38CPXC.……………………11分所以X的分布列为……………………12分所以随机变量X的数学期望115213012.1938382EX……………………13分17.解：（Ⅰ）连接PQ，因为点P，Q分别为11AD，AD的中点，所以1//PQCC，1PQCC.所以四边形PQCC1是平行四边形.所以1//.CQCP因为CQ平面1PAC，1CP平面1PAC，所以//CQ平面1.PAC……………………4分（Ⅱ）因为1AA平面ABCD,1//AAPQ，所以PQ平面ABCD.……………………5分所以以Q为坐标原点，分别以直线QA，QP为x轴，z轴建立空间直角坐标系Qxyz，则y轴在平面ABCD内．所以,,A100，,,P002，,,C1212，,,B210，所以1,0,2PA，12,1,0PC.……………………7分设平面1PAC的法向量为,,nxyz，所以,,nPAnPC100即,.xzxy2020所以2,4,1n.……………………8分设平面PAD的法向量为0,1,0m，所以4421cos,.21211nm又二面角1CAPD为锐角，所以二面角1CAPD的余弦值是421.21……………………10分X012P11915382138高三数学（理）摸底试卷第6页（共4页）（Ⅲ）存在.设点,,Ea10，所以,1,2.PEa设PE与平面1PAC所成角为，所以214sincos,.21nPE所以22221421215aa，解得1.a所以1.BE……………………14分18.解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x轴上，过点0,1，离心率22e，所以1b，2.2ca……………………2分所以由222abc，得22.a……………………3分所以椭圆C的标准方程是221.2xy……………………4分（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F作斜率为k直线l，所以直线l的方程是(1)ykx.联立方程组221,1,2ykxxy消去y，得2222124220.kxkxk显然0.设点11,Mxy，22,Nxy，所以2122412kxxk，212222.12kxxk……………………7分因为x轴平分MPN，所以MPONPO.所以0.MPNPkk……………………9分所以12120.yyxmxm所以12210.yxmyxm所以1221110.kxxmkxxm所以1212220.kxxkkmxxkm所以2222224220.1212kkkkkmkmkk所以2420.12kkmk……………………12分所以420.kkm高三数学（理）摸底试卷第7页（共4页）因为0k，所以2.m……………………13分19.解：（Ⅰ）因为0a，所以lnxfxx，0,11,.x……………………1分所以ln.lnxfxx21……………………2分令fx0，即lnx10，所以.xe……………………3分令fx0，即lnx10，所以.xe……………………4分所以fx在,e上单调递增，在,01和,e1上单调递减.所以fx的单调递增区间是,e，单调递减区间是,01和,e1.……………………5分（Ⅱ）因为x1，所以ln.x0因为，所以对任意的1,x，fxx恒成立，即lnxaxx恒成立.等价于lnaxxx恒成立.……………………7分令lngxxxx，所以ln.xxgxx222……………………9分令lnhxxx22，所以.xhxx1所以当x1时，.hx0所以hx在1,上单调递增.所以.hxh10……………………11分所以当x1时，.gx0所以gx在1,上单调递增.所以.gxg11所以1.a……………………13分20.解：（Ⅰ）因为23nSnn，所以12.aS……………………1分因为2210.aSS所以公差22.baa……………………3分高三数学（理）摸底试卷第8页（共4页）（Ⅱ）证明：因为1naabn，1nnbba，又223ababa，所以2.abababab因为a，b均为正整数，且ab，bab，所以1.a所以2a，3.b……………………6分又2abab，所以211.ab当3a，4b时，有21211113412+ab，产生矛盾.所以2.a……………………10分（Ⅲ）因为，所以1212.nbmkb所以1221.nkbm……………………12分因为b，k均为正整数，k为常数，所以当且仅当1211nm时，b有最大值是2.k所以b的最大值是2.k……………………14分