三角形角度计算之八字型与飞镖模型

8字型与飞镖模型模型一：角的8字模型如图所示，AC,BD相交于点O,连接AD、BC结论：∠A+∠D=∠B+∠C.证法一：∵∠AOB是△AOD的外角，∴∠A+∠D=∠AOB∵∠AOB是△BOC的外角∴∠B+∠C=∠AOB∴∠A+∠D=∠B+∠C.证法二：∵∠A+∠D+∠AOD=180°∴∠A+∠D=180°-∠AOD∵∠B+∠C+∠BOC=180°∴∠B+∠C=180°-∠BOC又∵∠AOD=∠BOC∴∠A+∠D=∠B+∠C.以上两种证明方法都比较常用，因为这个图形像数字8，所以我们把这个模型称为8字模型。例题讲解：观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=解析：解法一：（1）利用角的8字模型，如图③，连接CD，∵∠BOC是△BOE的外角，∴∠B+∠E=∠BOC∵∠BOC是△COD的外角，∴∠1+∠2=∠BOC∴∠B+∠E=∠1+∠2（角的8字模型）∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2=∠A+∠ACD+∠ADC=180°解法二：如图④，利用三角形外角和定理，∵∠1是△FCE的外角∴∠1=∠C+∠E∵∠2是△GBD的外角，∴∠2=∠B+∠D∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°（1）解法一：利用角的8字模型，如图⑤∵∠AOP是△AOB的外角∴∠A+∠B=∠AOP∵∠AOP是△OPQ的外角∴∠1+∠3=∠AOP∴∠A+∠B=∠1+∠3同理可得：∠C+∠D=∠1+∠2∠E+∠F=∠2+∠3.解法二：利用角的8字模型如图⑥，连接DE,∵∠AOE是△AOB的外角∴∠A+∠B=∠AOE∵∠AOE是△OED的外角∴∠1+∠2=∠AOE∴∠A+∠B=∠1+∠2（角的8字模型）∴∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠FEB+∠F=360°模型2：角的飞镖模型如图所示，∠D=∠A+∠B+∠C解法一，如图①，作射线AD∵∠3是△ABD的外角∴∠3=∠B+∠1∵∠4是△ACD的外角∴∠4=∠C+∠2∴∠BDC=∠3+∠4∴∠BDC=∠B+∠1+∠2+∠C∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C解法二：如图②，连接BC∵∠2+∠4+∠D=180°∴∠D=180°-（∠2+∠4）∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°∴∠A+∠1+∠3=180°-（∠2+∠4）∴∠D=∠A+∠1+∠3例题讲解：如图，在四边形ABCD中，AM,CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M,探究∠AMC与∠B∠D之间的数量关系.利用角的飞镖模型如图所示，连接DM并延长，∵∠3是△AMD的外角，∴∠3=∠1+∠ADM∵∠4是△CMD的外角∴∠4=∠2+∠CDM∵∠AMC=∠3+∠4∴∠AMC=∠1+∠ADM+∠CDM+∠2∴∠AMC=∠1+∠2+∠ADC(角的飞镖模型)|利用四边形的内角和，以及AM,CM分别平分∠DAB和∠DCB就可以得出2∠AMC+∠B-∠ADC=360°.模型三：边的8字模型如图所示，AC,BD相交于点O连接AD,BC结论：AC+BD＞AD+BC模型分析：∵OA+OD＞ADOB+OC＞BC以上两式进行相加即可得到OA+OD+OB+OC＞BC+AD即AC+BD＞AD+BC例题讲解：如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O求证：（1）AB+BC+CD+AD＞AC+BD（2）AB+BC+CD+AD＜2AC+2BD.解析：（1）∵AB+BC＞ACCD+AD＞ACAB+AD＞BDBC+CD＞BD以上式子相加即可得到AB+BC+CD+AD＞AC+BD（2）∵AD＜OA+ODBC＜OB+OC两式相加即可得到AD+BC＜OA+OD+OB+OC∴AD+BC＜AC+BD(边的8字模型)同理可证：AB+CD＜AC+BD∴AB+BC+CD+AD＜2AC+2BD模型四：边的飞镖模型如图所示，AB+AC＞BD+CD解析：如图，延长BD交AC于点E∵AB+AC=AB+AE+ECAB+AE＞BE∴AB+AC＞BE+EC∵BE+EC=BD+DE+ECDE+EC＞CD∴BE+EC＞BD+CD综上：AB+AC＞BD+CD经典例题练习：1、如图1，求：∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=如图2，求：∠CAD+∠B+∠AC+∠D+∠E=解析：如图，连接DE∠C+∠CAD=∠1+∠2∠CAD+∠B+∠C+∠ADB+∠BEC=∠B+∠BEC+∠BDA+∠1+∠2=180°如图，连接DE∠ACE+∠CAD=∠1+∠2∠CAD+∠B+∠ACE+∠ADB+∠BEC=∠B+∠BEC+∠BDA+∠1+∠2=180°1、如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=解析：如图，连接GH,CD∠E+∠B=∠1+∠2∠A+∠F=∠3+∠4∠A+∠B+∠FCH+∠ADG+∠E+∠F+∠DGB+∠EHC=∠1+∠2+∠3+∠4+∠GDA+∠FCH+∠DGB+∠EHC=360°如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=解析：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115°∠A+∠B+∠F=∠BOF=115°∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115°+115°=230°如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=解析：如图所示，连接BD∠AED=∠A+∠3+∠1∠BFC=∠2+∠4+∠C∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220°4、如图，点O为△ABC内部一点求证：（1）2(AO+BO+CO)＞AB+BC+AC;（2）AB+BC+AC＞AO+BO+CO解析：（1）∵OA+OB＞AB①OB+OC＞BC②OC+OA＞AC③由①+②+③可得2(AO+BO+CO)＞AB+BC+AC;（2）如图，延长BO交AC于点E∵AB+AC=AB+AE+ECAB+AE＞BE∴AB+AC＞BE+EC①∵BE+EC=BO+OE+ECOE+EC＞CO∴BE+EC＞BO+CO②由①②可得AB+AC＞BO+CO③(边的飞镖模型)同理可得AB+BCD＞OA+OC④BC+AC＞OA+OB⑤由③+④+⑤得AB+BC+AC＞AO+BO+CO如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE,求证：AB+AC＞AD+AE解析：如图，将AC平移至BF,AD延长线于BF相交于点G,连接DF由平移可得AC=BF∵AC∥BF∴∠ACE=∠FBD∵BD=CE∴△AEC≌△FDB∴DF=AE如图，延长AD交BF于点G∵AB+BF=AB+BG+GF∵AB+BG＞AG∴AB+BF＞AG+GF①∵AG+GF=AD+DG+GF∵DG+GF＞DF∴AG+GF＞AD+DF②由①②可得AB+AC=AB+BF＞AD+DF=AD+AE∴AB+AC＞AD+AE.