二项式展开

1二项式展开定理一、定理及基本概念1.*)()(110NnnCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnn；2.项数：一共1n项；3.通项：rrnrnrbaCT1；一定注意两点：1)涉及“第几项”的时候，一定严格按照通项公式；2)注意项数与系数r的关系。4.二项式系数与各项系数之间的联系与区别。二、性质1.二项式系数的对称性：rnnrnCC；2.二项式系数和：n2；3.奇数项二项式系数和=偶数项二项式系数之和=12n；4.二项式系数最大项：1)当n是偶数时，此时项数1n是奇数，中间项的二项式系数2nnC最大；2)当n是奇数时，此时项数1n是偶数，中间两项的二项式系数21nnC=21nnC最大。5.系数最大项：注意系数最大与二项式系数最大的区别。2基本题型解题思路及步骤一、利用通项公式求某项系数1.写出通项公式的时候注意：1)所有的系数写在最前面，包括符号；2)所有根式都写出分数次数形式；3)明白什么是有理项；4)注意r的取值范围。2.只有一个式子：写出通项公式，根据系数关系，确定满足条件的项。3.有两个式子相乘：1)分别用通项公式打开，组合后看满足条件的项；2)只打开一个，观察另一个的形式，判断满足条件的项；一定注意系数；3)有多个ir的，注意各自的取值范围和相互之间的关系。二、赋值求系数和1.常用的赋值是令1,1,0x，具体要通过所求的式子来判断赋值；2.所有系数之和：令1x；二项式系数之和：n2；3.所有系数绝对值之和：令1x；变换原来式子里的符号，边为相加；再令1x；4.求导和积分的形式。三、对二项式定理的理解：组合项、整除1.二项式定理的ba,理解：都表示一个整体；2.根据所求的问题，对前面的ba,进行重新组合。3例题讲解一、求某项的系数1.求92)1(xx展开式中第几项为常数项，并求常数项的值。解：直接用通项公式打开：rrrrrrrxCxxCT3992991)1()()(；（注意系数都放一起）常数项即x的次数为0，也即：3039rr；所以常数项为第4项；且常数项为：84)1(339C2.在二项式nxx)1(433的展开式中，第四项的系数为56，求x1的系数。解：第四项的系数为56：注意：项数与展开式中r的取值的关系。此时：3r。3nC=56，解得：8n；再利用通项公式：123213843881)()(31rrrrrrxCxxCT；要求x1的系数，所以：221123213rr；故x1前的系数为：2828C3.求二项式102)213(xx展开式中常数项的值。解：2540101021102101)21()3()21()3(rrrrrrrrxCxxCT，所以8r；常数项的值为：256405)21(382810C。（一定严格按步骤来，注意系数的符号）44.求二项式83)2(xx展开式中有理项的系数和。解：什么是有理项？kx，当Zk时为有理项；用通项公式打开：62483182181)2()2()(rrrrrrrxCxxCT；要满足有理项，即：Zr624且Zrr,80，所以：0r或6r当0r时，1)2(008C；当6r时，1792)2(668C；故：有理项的系数和为1793。5.求多项式106)1()1(xxx展开后常数项。解：因为这里有两个式子，可以用两个展开式，所取的21,rr的取值范围；6)1(xx展开：111)()(2166rrrxxC；10)1(x展开：222)1()(102110rrrxC所以：106)1()1(xxx展开后：232210612221)1(rrrrrxCC（100,6021rr）所以：032212rr，所以：10,421rr或7,521rr或4,621rr；当10,421rr时，15)1(10101046CC；当7,521rr时，720)1(771056CC；当4,621rr时，210)1(441066CC；所以常数项为：49572021015。56.求展开式34)21()31(xx中，2x的系数。解：4)31(x展开：11)3(4rrxC；3)21(x展开：22)2(3rrxC；所以：34)21()31(xx展开：212121)2(334rrrrrrxCC，其中：30,4021rr；所以：2021rr或1121rr或0221rr；故系数为：6)2(3)2(3)2(3020324111314202304CCCCCC7.已知nxxxx)1)(1(32（82n）的展开式中没有常数项，则n的值为。解：nxx)1(3展开：1111143)()(rnrnrrnrnxCxxC；由题意可知，展开式中没有常数项。则24,14,04111rnrnrn，所以：24,14,4111rnrnrn，所以：5n。8.求673)12()3(xxxx中，1x的系数。9.求592)2()13(xxx的展开式中，2x前的系数为？10.求8732)1()1()1()1()1(xxxxx的展开中3x的系数。6二、系数最值1.在nba2)(的展开式中，二项式系数最大的项是第几项。解：展开式式中一共有：12n项。所以中间项为：第1n项。一定要时刻注意项数与次数的关系。2.在nxx)1(2的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为？解：只有第4项二项式系数最大，所以一共有7项，所以：6n。通项公式：rrrrrrxCxxCT31266261)1()(，常数项4r，所以：1546C。3.已知nx)221(，若展开式中第5，第6与第7项二项式系数为等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：通项公式为：rnrrnrrnrnrxCxCT212)2()21(；二项式系数为等差数列，所以：6452nnnCCC，解得7n或14n；当7n时，二项式系数最大是第4项和第5项，故：235276374CT，7021475CT；当14n，二项式系数最大是第8项，故：34327148CT。注意题目的问题：是二项式系数最大项的系数！4.求7)21(x的展开式中系数最大的项？解：通项公式为：rrrrrrxCxCT2)2(771，各项系数的通项为：rrC27则：117711772222rrrrrrrrCCCC解得：5r；所以系数最大项为第6项；5555766722xxCT。5.求6)23(x的展开式中系数最小的项是第几项？7三、赋值1.若nxx)1(32的展开式中偶数项系数和为256，求n的值。解：令1x，得所有项的系数和0)11(n；故951225622nn。注意“各项系数和”与“二项系数和”的联系与区别；注意“减号”与“加号”的联系与区别。2.若nxx)11(523的展开式中所有奇数项的系数和为1024，求它的中间项。解：由题可知所有奇数项的系数和即为所有奇数项的二项式系数和为1024；所以：11102422nn，所以中间项第6,7项；所以：46462xT，15617462xT。3.在2006)2(x的二项式展开中，记含x的奇次幂的项之和为S，当2x时，求S？解：令2x，则0)22()2(20062006x；令x的偶次幂的项之和为T；令2x，则300920062)22(；则：300830092200SSTSTST。题目如果改为：3x时，S的值呢？还是要注意：奇次幂和偶次幂，对于x取相反数的时候的影响。84.若二项式nx)3(中所有项的系数和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则abba的最小值为（B）解：所有项的系数和即令1x，所以na2；所有项绝对值的和就是要把系数是负的变成正的，令1x，所以：nb4；所以：25221nnabba。注意*Nn。5.若nxx)3(展开式中各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x的一次项系数为？解：由上一题可知，尝试令1x，发现不可行，原式没有意义；发现nxx)3(与nxx)3(展开式中各项系数的绝对值相等；故nxx)3(的绝对值之和等价于nxx)3(的各项系数和；所以：令1x，510244nn；nxx)3(展开的通项公式：235552151)3()13()(rrrrrrrxCxxCT；故x的一次项系数为：15)3(115C。上述两个例题就是求各项系数绝对值之和的两个思想。6.5)51(yx的展开式中不含x的项的系数和为？解：不含x的项，可令0x；则题目等价于5)51(y的各项系数和；令1y，则55)4()51(y1024。要消除x，可以令0x。97.设多项式展开：141313114095)1()1()1()23()1(axaxaxaxx，则1310aaa（D）A.93B.9532C.52D.5923解：观察右边的形式：可令0x，则91413103aaaa；此时，离目标多了一个14a；再令1x，则5142a；所以：1310aaa5923。8.若20092009102009)21(xaxaax，则20092009221222aaa的值为？解：观察所求的形式：令21x，则0222200920092210aaaa；再令0x，则10a；所以：122220092009221aaa。9.已知4x是函数xxaxfcossin)(图象的一条对称轴，201402014)1(iiixaax，则20141iia的为？解：由题意可知：aff1)2()0(；令0x，则10a；令1x，则0201410aaa；所以：120141aa。1010.若20132013102013)12(xaxaax，则201331aaa的值。解：发现要求的是x的奇数次幂的系数和；令1x，则1201310aaa；令1x，则20132013201232103aaaaaa；所以：2312013201331aaa。11.设44104)22(xaxaax，求2312420)()(aaaaa的值。解：))(()()(43210432102312420aaaaaaaaaaaaaaa；即：16)22()22()()(442312420aaaaa12.若20132013102013)12(xaxaax，则1201320131222221aaaa的值。解：发现所求的式子分母中都有1a，所以：)222(12221201320132211120132013122aaaaaaaa令21x，则：0222201320132210aaaa；令0x，则10a；所以：122220132013221aaa；又40262201220131Ca；所以：40261)222(12221201320132211120132013122aaaaaaaa。1113.已知8822108)21(xaxaxaax，则82182aaa（D）A.8B.8C.16D.16解：发现求的形式，用常规的思想不好解，令1x不行；令1x也不行；再观察发现ia前面的系数，正好是对应的x的次数；所以两边都时求导，即