常微分方程证明题及答案

《常微分方程》证明题及答案54证明题（每题10分）1、设函数f(t)在[,)0上连续且有界，试证明方程dxdtxft()的所有解均在[,)上有界.证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t0[0+)由一阶线性方程的求解公式有yxyefsedsxxsxxx()()()()000现只证x(t)在[t0,+)有界，设|f(t)|M,t[0+)于是对t0t+有||||()yyeMxx00|()|()fsedsMstxx0|x0|+Me-tedsstt0|x0|+M[10ett()]|x0|+M即证2、设函数f(x),p(x)在[,0）上连续，且bxfaxpx|)(|0)(lim且(a,b,为3、设函数f(x)在[,0）上连续，且lim()xfxb又a04、设函数y(x)在[,)0上连续且可微，且lim['()()]xyxyx0试证lim()xyx05、若y1(x),y2(x)为微分方程0)()()(21xpxyxpy的两个解，则它们的朗斯基行列式为wyykepxdx(,)()121其中k为由y1(x),y2(x)确定的常数6、求微分方程()()'xyxyyx的通解7、解方程xdxxydxxydyxy()()2208、解方程()()'xyxyyx9、解方程xdxxydxxydyxy()()22010、解方程23()()0yyyy11、已知()fx是连续函数。（1）求初值问题0'()|0xyayfxy的解()yx，其中a是正常数。（2）若|()|fxk（k为常数），证明当0x时有|()|(1)axkyxea。12、已知当1x时()fx具有一阶连续导数，且满足01()()01(0)1xfxfxftdtxf《常微分方程》证明题及答案55（1）求'()fx；（2）证明：当0x时有()1xefx。13、设12(),()yxyx是方程'()()ypxyqx的两个不同的解，求证它的任何一个解满足恒等式：121()()()()yxyxKyxyx（K为常数）14、当x时，()fx连续且|()|fxM。证明：方程'()yyfx（1）在区间x上存在一个有界解，求出这个解。并证明：若函数()fx是以为周期的周期函数，则这个解也是以为周期的周期函数。15、设函数(),()fugu连续可微，且()()fugu，试证方程孙()()0yfxydxxgxydy有积分因子1[(()())]xyfxygxy16、证明方程(,)(,)0MxydxNxydy具有形如[(,)]xy的积分因子的充要条件为1[(,)]MNNMfxyyxxy，并求出这个积分因子。17、证明贝尔曼（Bellman）不等式。设k为非负常数，()ft和()gt是区间t上的非负连续函数，且满足不等式()()(),tftkfsgsdst则有()exp()tftkgsds，t。18、设在方程()'()0ypxyqxy中，()px在某区间I上连续且恒不为零，试证：它的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间I上的严格单调函数。19、假设1()0xt是二阶齐次线性方程12()()0xatxatx的解，这里1()at和2()at是区间[,]ab上的连续函数。试证：2()xt为方程的解的以要条件是12112[,][,]0WxxaWxx。其中12[,]Wxx表示12(),()xtxt的朗斯基行列式。20、在方程3'2()yyyfx中，()fx在[,)a上连续，且lim()0xfx。试证明：已知方程的任一解()yx均有lim()0xyx。21、设()fx为连续函数，且满足0()sin()()xfxxxtftdt。求证：1()sincos22xfxxx.《常微分方程》证明题及答案5622、设()Xt是常系数线性方程组()()dxtAxtdt的基解矩阵，适合条件(0)XE，试证对任何,ts成立等式()()()XtsXtXs.23、设()Xt是连续的n阶方阵，(0)X存在，且适合关系()()()XtsXtXs，|(0)|0X.试证：存在n阶常值方阵A，使得()()dXtAXtdt。证明题附加题1，设方程()'()0ypxyqxy中的()px和()qx在[,]ab上连续，且()0qx，试证：对方程任一非零解()yyx，函数0()()()'()xxpsdsfxeyxyx为单调递增的。0[,]xab。2，设函数(),()fxpx在[0,)上连续，且lim()0xpxa，且|()|fxb（,ab为常数），试证：方程()()dypxyfxdx的解在[0,)上有界。3，若12(),()yxyx为微分方程12()'()()0ypxyxpx的两个解，则它们的朗斯基行列式为1()12(,)pxdxWyyke，其中k由12(),()yxyx确定的常数。4，已知方程(()')'()0pxuqxu（1）其中'(),()pxqx是[,]ab上的连续函数，()0px，若(),()uxvx为（1）的两个解，则()[()'()'()()]pxuxvxuxvx恒等于常数。5。设()fx是二次可微函数，且()'()()0fxfxfx，证明：若()fx在某不同两点处的函数值为0，则()fx在该两点之间恒为零。6，设xye是微分方程'()xypxyx的一个解，证明此方程满足条件ln20xy的特解为112xexyee。7，设()fx具有连续二阶导数，(0)'(0)0ff，且曲成积分(sin)('()())xLexydxfxfxdy与路径无关，证明：111()cossin222xxfxexexx。《常微分方程》证明题及答案57证明题答案1、证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t0[0+)由一阶线性方程的求解公式有yxyefsedsxxsxxx()()()()000现只证x(t)在[t0,+)有界，设|f(t)|M,t[0+)于是对t0t+有||||()yyeMxx00|()|()fsedsMstxx0|x0|+Me-tedsstt0|x0|+M[10ett()]|x0|+M即证2、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件y(x0)=y0,x0[,)0由一阶线性方程的求解公式有yxyefsedsxxsxxx()()()()000现只证y(x)在[x0,+)有界，,t[0+),不妨设x0充分大于是对x0x+有lim()xpxa0,则存在M10,使当xx0时,有|p(x)|M1||||()yyeMxx00|()|()fsedsMstxx0|y0|+(eMx-eMx0)bMeMx|y0|+bMeMxx110()()《常微分方程》证明题及答案58|y0|+bM1即证3、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件y(x0)=y0,x0[,)0由一阶线形方程的求解公式有yyefsedsaxxxxasx000()()()yyeefsedsaxxaxxxas000()()两边取极限lim()limlim()()xxaxxxaxxxyxyeefsedsas000=======limxfsedseasxxax()0=======limxfxeaebaaxax()4、证明：设y=y(x)为方程的任一解，它满足某初始条件y(x0)=y0,x0[,)0由一阶线性方程的求解公式有yxyefsedsxxsxxx()()()()000yeefsedsxxxsxx000()()两边取极限lim()limlim()()xxxxxxxxyxyeefsedss000=0+limxefxexx()5、证明：由朗斯基行列式定义有wyyyyyyyyyy(,)''''1212121212dwdx(yyyy1212'')¹=yyyypyyyypxw12121211''''('')()用分离变量法求解有wyykpxdx()()121显然k为由yxyx12(),()确定的常数6、解：因MyNxNyyxyx所以方程仅有与X有关的积分因子M(x)=exxdx22则：dxedxdxyx()()2320故：()xxexycx23222《常微分方程》证明题及答案597、解：原方程化为yydyxxdx1123积分得12212211LnyLnxLnxLnc()()故()()112212yxcx8、解：方程化为lnxydyyxdx0这是齐次方程，令y=ux，则有ln(ln)uduuudxx1-[lnu-ln(1+lnu)]=lnx+lnc从而通积分cyyx1ln9、解：首先，易知均x=±1,y=±1为方程的解其次，由方程得到xdxxydyy2210LnxLnyLnc()()2211即()()xyc221110、解：分离变量得yydyxxdx1123121111222dyyxxxdx()()积分得12212211LnyLnxLnxLnc()()故()()112212yxcx11、证：（证法一）（1）原方程的通解为()()()adxaxdxaxaxaxyxeCfxedxCeefxedx记()Fx为()axfxe的任一原函数()()axaxyxCeeFx。由0|0xy得到(0)CF。所以0()()(0)()xaxaxatyxeFxFeftedt（2）001|()|()(1)(1)xxaxataxataxaxaxkyxeftedtkeedtkeeeaa（证法二）（1）在方程两边乘以axe（积分因子）'()axaxaxyeayefxe《常微分方程》证明题及答案60从而()'()axaxyefxe由(0)0f得到：0()xaxatyeftedt即0()xaxatyeftedt（2）证法同上12、解：（1）由题设知'(0)(0)0ff。则'(0)(0)1ff且0(1)['()()]xxfxfxftdt令()yfx两边求导得到(1)(')'0(1)xyyyx设'()ypx'''()ypx得21dpxdxpx两边积分得1lnln(1)lnpxxc'1xcypex代入初始条件(0)'(0)1,1pfc故'()(1)1xefxxx（2）利用拉格朗日中值定理知：当0x时()(0)'()01efxffxx在0和x之间于是()(0)1fxf另外1(())''()0(0)1xxxxfxefxeeexx所以()xfxe在(0,)单调增加，而0(())|(0)10xxfxef。故当0x有())0xfxe。从而当0x时()1xefx。13、证：由通解公式知：任一解()yyx可由公式()()()()pxdxpxdxyxeCqxedx