3.1.3导数的几何意义

3.1.3导数的几何意义回顾①平均变化率函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为:②平均变化率的几何意义：割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y121)()fxxx2f(xxyk121)()fxxx2f(xxy回顾③导数的概念函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即000000)()(lim)()Δ(lim)(0xxxfxfxxfxxfxfxxx④求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步驟是:00(1)()();yfxxfx求函数的增量00()()(2);fxxfxyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx取极限，得导数问题1平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？问题2如图直线l1是曲线C的切线吗?l2呢?l2l1AB0xy思考:切线应该怎么定义下面来看导数的几何意义:βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角..tan,,:xyyMQxMP则yx请问：是割线PQ的什么?斜率!PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.动态演示设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.注：曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以有无穷多个.xyoy=f(x)⑴表示什么？yx思考已知曲线y=f(x)上两点，0000(,()),(,())nxxPxfxPxfx⑵根据切线定义可知：，割线切线，那么割线的斜率？nPP0xPTnPPnk⑶结合，割线切线，则切线的斜率可以表示怎么表示？0xnPPPTPTk斜率!xxfxxf)()(00在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率有何联系？平均变化率割线的斜率瞬时变化率（导数）切线的斜率0x0x（二）导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点(x0,f(x0))处的切线的斜率，即：()yfx0xxk0000()lim()xfxxfxkfxx曲线在点(x0,f(x0))处的切线的方程为：).)(()(000xxxfxfy例1求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出切点P的坐标；②求切线的斜率，即函数y=f(x)在x=x0处的导数；③利用点斜式求切线方程.例2.试求过点且与曲线相切直线方程5,3P2xy求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：•1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()•A．不存在B．与x轴平行或重合•C．与x轴垂直D．与x轴斜交•答案：B•2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为()•A．4B．16•C．8D．2C解析：曲线在点A处的切线的斜率就是函数y＝2x2在x＝2处的导数．f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02x＋Δx2－2x2Δx＝limΔx→04x·Δx＋2Δx2Δx＝4x.则f′(2)＝8，故选C.•3．曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为________．•答案：4x＋y＋1＝0解析：k＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2－1＋Δx2＋1]－[2－12＋1]Δx＝limΔx→0(－4＋2Δx)＝－4.∴切线方程为y－3＝－4(x＋1)，即y＝－4x－1.•4．已知曲线y＝3x2，求在点A(1,3)处的曲线的切线方程．解析：∵ΔyΔx＝31＋Δx2－3×12Δx＝6＋3Δx，∴y′|x＝1＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.∴曲线在点A(1,3)处的切线斜率为6.∴所求切线方程为y－3＝6(x－1)，即6x－y－3＝0.例2如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数105.69.4)(2ttth的图象.根据图象,请描述、比较曲线在附近的变化情况.)(th210,,ttttoht0t1t2l0l1l2t4t3例2解:可用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴.故在t=t0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h’(t1)0.故在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减.tohl0t0t1l1t2l2t4t3(3)当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h’(t2)0.故在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明h(t)曲线在l1附近比在l2附近下降得缓慢血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率.函数f(t)在此时刻的导数,（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象)(0/xf)(/xf抽象概括：是确定的数是的函数x导函数的概念：)(/xfxxfxxfxfx)(lim0000/xxfxxfxfx)(lim0/t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率3.004.15.000()()()limlimxxyfxxfxfxyxx在不致发生混淆时，导函数也简称导数．000()()()()().yfxxfxfxfxx函数在点处的导数等于函数的导函数在点处的函数值什么是导函数?由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:f(x0)与f(x)之间的关系：f(x0)f(x)0xx．．1、y=f/(x)是y=f(x)的导函数注意：2、f/(x0)是y=f(x)在点x0处的导数值也即f’(x)在点x0处的函数值（是一个函数）（是一个常数）如何求函数y=f(x)的导数?(1)()();yfxxfx求函数的增量(2):()();yfxxfxxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx求极限，得导函数.yxy例4.已知，求xyxxxxxx解：1yxxxx0011limlim.2xxyyxxxxx看一个例子:例5.已知,求3xyy归纳小结通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结论?(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；(2)函数的单调性与其导函数正负的关系；(3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系.练习1：在例2中，描述函数h(t)在t3和t4附近增（减）以及增（减）快慢的情况。tohl0t0t1l1t2l2t4t3练习2（2）曲线122xy在点P（－1，3）处的切线方程为（）A．14xyB．74xyＣ．14xyＤ．74xy（1）如果曲线)(xfy在点))(,(00xfx处的切线方程为032yx，那么（）A．0)(0xfB．0)(0xfＣ．0)(0xfＤ．)(0xf不存在小结:2.导数的几何意义3.求切线方程的步骤1.曲线切线的定义1、了解切线的概念,掌握切线斜率是一种特殊的极限,会求过曲线上一点的切线的斜率；2、了解瞬时速度的概念,会求变速运动的瞬时速度;3、了解导数的定义，掌握用导数定义求导数的一般方法；4、理解导数的几何意义，并会用求导数的方法求切线的斜率和切线方程。